Исследуйте функцию и постройте ее график (300) а) f(x)=1/2x^2-1/5x^5

Привет! На этой странице много интересных задач. Давай начнем с первой, номер 300 а). **Задача 300 а)** Исследовать функцию и построить график: $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5$. **Решение:** 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой, так как это многочлен. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Четность/нечетность:** $f(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 - \frac{1}{5}(-x)^5 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{5}x^5$. Функция ни четная, ни нечетная. 3. **Производная:** $f'(x) = x - x^4 = x(1 - x^3) = x(1 - x)(1 + x + x^2)$. Приравняем к нулю: $x = 0$ или $x = 1$. Точки экстремума: $x = 0$ (минимум, так как производная меняет знак с - на +), $x = 1$ (максимум, знак с + на -). Значения: $f(0) = 0$, $f(1) = 0.5 - 0.2 = 0.3$. 4. **Поведение на бесконечности:** При $x \to \infty$, $f(x) \to -\infty$ (из-за $-x^5$). При $x \to -\infty$, $f(x) \to +\infty$. 5. **Точки пересечения с осями:** $f(x) = 0 \Rightarrow x^2(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}x^3) = 0$. $x = 0$ и $\frac{1}{5}x^3 = \frac{1}{2} \Rightarrow x^3 = 2.5 \Rightarrow x = \sqrt[3]{2.5} \approx 1.357$. График имеет точку перегиба и возрастает на интервале $(0; 1)$, убывает на $(-\infty; 0)$ и $(1; +\infty)$.