Задание 1. В окружности провели диаметр MN и хорды NK и KL так, что NK = 48 см, ∠MNK = 30°, NM ⊥ KL. Найдите длину хорды KL.

### Задача 1 **Дано:** Окружность с диаметром $MN$. Хорды $NK$ и $KL$. $NK = 48$ см. $\angle MNK = 30^\circ$. $MN \perp KL$. **Решение:** 1. Пусть $E$ — точка пересечения диаметра $MN$ и хорды $KL$. Так как диаметр $MN$ перпендикулярен хорде $KL$, то по свойству хорд он делит её пополам ($KE = EL$), а также является биссектрисой соответствующего центрального угла. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle KNE$ (так как $MN \perp KL$, угол $\angle KEN = 90^\circ$). 3. В этом треугольнике катет $KE$ лежит против угла $\angle KNE = 30^\circ$, значит: $KE = NK \cdot \sin(30^\circ) = 48 \cdot 0,5 = 24$ см. 4. Так как $MN$ делит хорду $KL$ пополам, то $KL = 2 \cdot KE = 2 \cdot 24 = 48$ см. **Ответ:** $KL = 48$ см. *** ### Задача 2 **Дано:** Окружность с центром $O$. Касательные $KP$ и $KM$. $P, M$ — точки касания. $\angle OMP = 36^\circ$. **Решение:** 1. Радиус $OM$ перпендикулярен касательной $KM$, значит $\angle OMK = 90^\circ$. 2. $\triangle OMP$ — равнобедренный ($OM = OP$ как радиусы), следовательно, углы при основании равны: $\angle OPM = \angle OMP = 36^\circ$. 3. Найдем $\angle KMP$: $\angle KMP = \angle OMK - \angle OMP = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$. 4. Отрезки касательных $KP$ и $KM$, проведенные из одной точки, равны ($KP = KM$). Значит, $\triangle KPM$ — равнобедренный с основанием $PM$. Углы при основании равны: $\angle KPM = \angle KMP = 54^\circ$. 5. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$: $\angle PKM = 180^\circ - (\angle KPM + \angle KMP) = 180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. **Ответ:** $\angle PKM = 72^\circ$.