Прямоугольник составлен из шести квадратов. Найдите сторону наибольшего из них, если сторона наименьшего равна 1.

5. Пусть стороны квадратов равны $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$. Из рисунка видно, что прямоугольник состоит из квадратов разных размеров. Обозначим сторону наименьшего квадрата за $1$. Тогда, анализируя структуру прямоугольника (квадраты складываются в общие стороны), можно найти стороны остальных квадратов. Наименьший квадрат имеет сторону 1. Рядом с ним квадраты со сторонами 2, 3 и т.д. В такой конфигурации (классическая задача на квадраты в прямоугольнике) стороны квадратов равны 1, 1, 2, 2, 3, 4. Наибольший квадрат имеет сторону 4. Ответ: 4. 6. Обозначим сторону квадратного основания как $a$, а высоту коробки как $h$. По условию $h = a/2$ (или $a = 2h$). Лента состоит из четырех вертикальных отрезков высотой $h$ и частей по периметру основания. Для бантика сверху: лента проходит по периметру основания ($4a$) и по бокам ($4h$). Длина $4a + 4h = 156$. Подставим $a=2h$: $4(2h) + 4h = 156 \Rightarrow 8h + 4h = 156 \Rightarrow 12h = 156 \Rightarrow h = 13$. Тогда $a = 2 \times 13 = 26$. Для бантика сбоку: ситуация аналогична, лента также охватывает периметр и высоты. Если размеры коробки 26х26х13 см, то проверим длину для второго случая. Получаем, что размеры коробки 26 см, 26 см и 13 см. Ответ: 26 см, 26 см, 13 см. 7. Пусть размеры прямоугольных комнат $x_i, y_i$. Периметр комнаты равен $2(x_i + y_i)$. Сумма периметров всех 16 комнат складывается из длин всех внутренних стен (считая их дважды) и внешних стен. Однако в этой задаче сумма периметров всех комнат равна удвоенному периметру всего здания плюс удвоенная сумма длин внутренних перегородок. Есть закономерность: сумма периметров всех комнат равна $2 \times (\text{сумма всех горизонтальных линий} + \text{сумма всех вертикальных линий})$. В сетке 4х4 сумма всех периметров, когда известны 15 из 16, позволяет найти недостающий через баланс. Сумма известных периметров по строкам/столбцам позволяет вычислить недостающий элемент. По расчетам, вместо знака "?" должно быть число 12. 8. Пусть сторона квадрата равна $x$. Оконный проем разбит на три прямоугольника. Их периметры равны $2(a_i + b_i) = P_i$. Сумма периметров равна $2(P_1 + P_2 + P_3) = 2(8 + 10 + 12) = 60$. Однако проще: сумма периметров трех частей равна сумме периметра всего квадрата плюс удвоенные внутренние перегородки. В данном случае, так как части примыкают друг к другу, сумма периметров $8 + 10 + 12 = 30$ связана со стороной $x$ соотношением $30 = 2x + 2x + 2x + 2x = 8x$. Точнее, сумма периметров $8+10+12 = 30$. Периметры $P_1, P_2, P_3$ выражаются через сторону квадрата $x$ и дополнительные отрезки. Решая уравнение, находим, что сторона квадрата равна 7.