В четырёхугольнике MNCD стороны MN и CD равны. Его диагонали тоже равны и пересекаются в точке O. Найдите длину отрезка OD, если OM = 9.

### Решение задания №5 1. Дано: $MNCD$ — четырехугольник, $MN = CD$, диагонали $MC = ND$, диагонали пересекаются в точке $O$, $OM = 9$. 2. В четырехугольнике, где диагонали равны ($MC = ND$) и две противоположные стороны равны ($MN = CD$), этот четырехугольник является равнобедренной трапецией (поскольку $MN || CD$ или это симметричная фигура относительно оси, проходящей через середины оснований). 3. В равнобедренной трапеции треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны, а отрезки диагоналей симметричны. В частности, $OM = OC$ и $ON = OD$. 4. Так как $MN = CD$, это равнобедренная трапеция. В ней диагонали точкой пересечения делятся на равные части: $OM = OD$ и $ON = OC$. (Это следует из равенства треугольников $\triangle MON$ и $\triangle COD$, так как $MN=CD$, $\angle MNO = \angle DCO$ и $\angle NMO = \angle CDO$). 5. Следовательно, $OD = OM = 9$. **Ответ: 9.** ### Решение задания №6 1. Дано: $MNCD$ — четырехугольник, $MN = MD$, $NC = CD$. Точка $K$ лежит на диагонали $MC$. Дано $DK = 6$. 2. Условие $MN = MD$ и $NC = CD$ означает, что точка $M$ равноудалена от концов отрезка $ND$, а точка $C$ равноудалена от концов того же отрезка $ND$. Значит, $MC$ — серединный перпендикуляр к отрезку $ND$. 3. Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов. Точка $K$ лежит на $MC$ (серединном перпендикуляре), значит $KN = KD$. 4. Так как $DK = 6$, то $NK = DK = 6$. **Ответ: 6.**