Докажите, что ΔABC = ΔA1B1C1, если BH = B1H1, где BH и B1H1 — высоты ΔABC и ΔA1B1C1 соответственно.

Допущение: в условии пропущено равенство углов $\angle A = \angle A_1$. **Дано:** $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ $BH \perp AC$, $B_1H_1 \perp A_1C_1$ (высоты) $BH = B_1H_1$ $\angle A = \angle A_1$ **Доказать:** $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ **Доказательство:** 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ (так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, $\angle AHB = \angle A_1H_1B_1 = 90^\circ$): - $BH = B_1H_1$ (по условию); - $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Следовательно, $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ по катету и противолежащему острому углу. 2. Из равенства треугольников $ABH$ и $A_1B_1H_1$ следует равенство соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$ 3. Теперь рассмотрим исходные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$: - $AB = A_1B_1$ (доказано в п. 2); - $\angle A = \angle A_1$ (по условию); - $\angle B = \angle B_1$ (предполагается по смыслу задачи для равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам). *Примечание:* Если в условии дано только $BH=B_1H_1$ и $\angle A = \angle A_1$, то треугольники могут быть не равны (например, если отличаются стороны $AC$ и $A_1C_1$). Обычно в таких задачах подразумевается равенство еще одного элемента, например $\angle B = \angle B_1$ или $AC = A_1C_1$. Если рассматривать признак равенства по стороне и двум углам (УСУ), то при $AB=A_1B_1$, $\angle A=\angle A_1$ и $\angle B=\angle B_1$, треугольники равны.