В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ внешний угол при вершине В равен 120°. Сумма катета ВС и гипотенузы АВ равна 23,4 см. Найдите длину меньшего катета этого прямоугольного треугольника.

1. Найдем внутренний угол при вершине B: Сумма внутреннего и внешнего углов при одной вершине составляет 180°. Значит, $\angle B = 180° - 120° = 60°$. 2. Найдем второй острый угол: Так как треугольник прямоугольный (сумма острых углов 90°), то $\angle A = 90° - 60° = 30°$. 3. Используем свойство угла 30°: Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Напротив угла A (30°) лежит катет BC, значит, $BC = \frac{1}{2}AB$ или $AB = 2BC$. 4. Используем условие суммы: По условию сумма $BC + AB = 23,4$ см. Подставим вместо $AB$ выражение $2BC$: $BC + 2BC = 23,4$ $3BC = 23,4$ $BC = 23,4 / 3$ $BC = 7,8$ см. 5. Найдем гипотенузу AB: $AB = 2 \times 7,8 = 15,6$ см. 6. Найдем второй катет AC: По теореме Пифагора $AC^2 = AB^2 - BC^2 = 15,6^2 - 7,8^2$. Или через тригонометрию: $AC = AB \cdot \cos(30°) = 15,6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7,8\sqrt{3} \approx 7,8 \cdot 1,732 = 13,51$ см. 7. Сравним катеты: $BC = 7,8$ см. $AC = 7,8\sqrt{3} \approx 13,5$ см. Меньший катет — это $BC$. **Ответ: 7,8 см.**