$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(3x+1)^4}$

Question

Вопрос:

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(3x+1)^4}$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения определенного интеграла $\int_{0}^{1} \frac{dx}{(3x+1)^4}$ воспользуемся методом замены переменной. 1. Сделаем замену: $u = 3x + 1$ Тогда дифференциал $du = 3dx$, откуда $dx = \frac{du}{3}$. 2. Изменим пределы интегрирования: Если $x = 0$, то $u = 3(0) + 1 = 1$. Если $x = 1$, то $u = 3(1) + 1 = 4$. 3. Подставим всё в интеграл: $\int_{1}^{4} \frac{1}{u^4} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^{-4} du$ 4. Найдем первообразную: $\frac{1}{3} \left[ \frac{u^{-3}}{-3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} \right) \left[ u^{-3} \right]_{1}^{4} = -\frac{1}{9} \left[ \frac{1}{u^3} \right]_{1}^{4}$ 5. Вычислим значение: $-\frac{1}{9} \left( \frac{1}{4^3} - \frac{1}{1^3} \right) = -\frac{1}{9} \left( \frac{1}{64} - 1 \right) = -\frac{1}{9} \left( -\frac{63}{64} \right) = \frac{63}{9 \cdot 64} = \frac{7}{64}$ **Ответ: 7/64**

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(3x+1)^4}$

Ответ ассистента

Другие решения