Через точку M, находящуюся на расстоянии 15 см от центра окружности радиуса 17 см, проведена хорда. Точка M делит эту хорду на отрезки, длины которых относятся как 1 : 4. Найдите длину этой хорды.

### Задача 3 Пусть отрезки хорды равны $x$ и $4x$. По свойству хорд, пересекающихся в точке $M$, произведение отрезков равно $R^2 - d^2$, где $R = 17$ см, $d = 15$ см. $x \cdot 4x = 17^2 - 15^2$ $4x^2 = (17 - 15)(17 + 15) = 2 \cdot 32 = 64$ $x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ см. Отрезки: $4$ см и $16$ см. Длина хорды: $4 + 16 = 20$ см. **Ответ: 20 см.** ### Задача 4 В треугольнике $ABC$ проведена высота $CD$ к стороне $AB$. $\,\,\, \triangle ADC$: $\angle ADC = 90^\circ, AD = 1, CD = 2 \Rightarrow \tan(\angle CAD) = \frac{2}{1} = 2$. $\,\,\, \triangle BDC$: $\angle BDC = 90^\circ, DB = 4, CD = 2 \Rightarrow \tan(\angle CBD) = \frac{2}{4} = 0,5$. По теореме о сумме углов треугольника $\angle ACB = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CBD) = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$. Так как $\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$, то искомый угол равен $180^\circ - (\angle A + \angle B)$. Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tan(\angle A + \angle B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{2 + 0,5}{1 - 2 \cdot 0,5} = \frac{2,5}{0} = \infty$. Это означает, что $\angle A + \angle B = 90^\circ$. Следовательно, $\angle ACB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. **Ответ: 90 градусов.** ### Задача 5 Дано: $AK:KB = 5:4$, $BF:FC = 8:5$. $AF \cap CK = M$. 1) Применим теорему Чевы для $\triangle ABC$: $\frac{AK}{KB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$. $\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} \cdot \frac{CD}{DA} = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{CD}{DA} = 1 \Rightarrow \frac{CD}{DA} = 0,5 \Rightarrow AD:DC = 2:1$. 2) Для нахождения отношения, в котором прямая $KF$ делит $BD$, используем теорему Менелая для $\triangle BDC$ и прямой $K-F-P$ (где $P$ — точка пересечения $KF$ и $BD$): Здесь удобнее воспользоваться методом масс. Пусть $B$ имеет массу $m_B$, $A$ массу $m_A$, $C$ массу $m_C$. Для $AK:KB = 5:4 \Rightarrow m_B/m_A = 5/4$. Для $BF:FC = 8:5 \Rightarrow m_C/m_B = 8/5$. Приведем к общему знаменателю: $m_B = 40$. Тогда $m_A = 32$, $m_C = 64$. Точка $D$ лежит на $AC$, $AD:DC = 2:1$ (из п.1), значит $m_D = m_A + m_C = 32 + 64 = 96$. Прямая $KF$ пересекает $BD$ в точке $P$. Отношение $BP:PD = m_D:m_B = 96:40 = 12:5$. **Ответ: 1) 2:1; 2) 12:5.**