20.10. Хорды AB и CD одной окружности равны. Докажите, что прямые BC и AD параллельны (рис. 20.56).

Дано: окружность, хорды $AB = CD$. Доказать: $BC \parallel AD$. **Доказательство:** 1. Так как хорды $AB$ и $CD$ равны, то равны и соответствующие им дуги: $\cup AB = \cup CD$. 2. К обеим частям равенства добавим дугу $BC$: $\cup AB + \cup BC = \cup CD + \cup BC$. 3. Получаем: $\cup ABC = \cup BCD$. 4. Вписанные углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ опираются на равные дуги $\cup AB$ и $\cup CD$ (они равны, так как стягиваются равными хордами). Однако проще рассмотреть накрест лежащие углы. 5. Рассмотрим вписанные углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$. Угол $\angle BCA$ опирается на дугу $AB$, а угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. Поскольку хорды равны, дуги равны, значит, вписанные углы, опирающиеся на них, равны: $\angle BCA = \angle CAD$ (если рассматривать их как накрест лежащие при прямых $BC, AD$ и секущей $AC$). 6. Равенство накрест лежащих углов при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$ доказывает, что $BC \parallel AD$. **Ответ:** Ч.Т.Д.