15 Решите неравенство \frac{\log_{0,5}^2(x^4) - x^2}{100 - x^2} \le 1.

Для решения неравенства $\frac{\log_{0,5}^2(x^4) - x^2}{100 - x^2} \le 1$ проведем следующие действия: 1. **Определим область допустимых значений (ОДЗ):** - Выражение под логарифмом должно быть положительным: $x^4 > 0 \implies x \neq 0$. - Знаменатель не равен нулю: $100 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 100 \implies x \neq \pm 10$. 2. **Упростим выражение:** - Преобразуем логарифм: $\log_{0,5}(x^4) = \log_{1/2}(x^4) = \log_{2^{-1}}(x^4) = -\log_2(x^4) = -4\log_2|x|$. - Тогда $\log_{0,5}^2(x^4) = (-4\log_2|x|)^2 = 16\log_2^2|x|$. - Неравенство примет вид: $\frac{16\log_2^2|x| - x^2}{100 - x^2} \le 1$. 3. **Перенесем единицу влево:** $\frac{16\log_2^2|x| - x^2}{100 - x^2} - 1 \le 0$ $\frac{16\log_2^2|x| - x^2 - (100 - x^2)}{100 - x^2} \le 0$ $\frac{16\log_2^2|x| - 100}{100 - x^2} \le 0$ 4. **Разложим на множители:** - Числитель: $16\log_2^2|x| - 100 = (4\log_2|x| - 10)(4\log_2|x| + 10) = 4(\log_2|x| - 2,5)(\log_2|x| + 2,5)$. - Знаменатель: $100 - x^2 = (10 - x)(10 + x)$. - Неравенство: $\frac{4(\log_2|x| - 2,5)(\log_2|x| + 2,5)}{(10 - x)(10 + x)} \le 0$. 5. **Найдем нули:** - $\log_2|x| = 2,5 \implies |x| = 2^{2,5} = 2^2 \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} = \sqrt{32} \approx 5,66$. - $\log_2|x| = -2,5 \implies |x| = 2^{-2,5} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8} \approx 0,177$. - $x = \pm 10$. 6. **Метод интервалов:** Рассмотрим точки: $-10, -4\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{8}, 0, \frac{\sqrt{2}}{8}, 4\sqrt{2}, 10$. Анализ знаков на интервалах показывает, что неравенство выполняется при: $x \in (-10; -4\sqrt{2}] \cup [-\frac{\sqrt{2}}{8}; 0) \cup (0; \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup [4\sqrt{2}; 10)$. **Ответ:** $x \in (-10; -4\sqrt{2}] \cup [-\frac{\sqrt{2}}{8}; 0) \cup (0; \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup [4\sqrt{2}; 10)$