4) Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠KCB, если ∠ABC=20°.

1. Рассмотрим четырёхугольник $AKEC$. Так как его вершины лежат на одной окружности, он является вписанным. 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Значит, $\angle KAC = \angle KEC$ и $\angle ACE = \angle AKE$. 3. Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $AE$ и $CK$. По условию $AE \perp CK$, значит, $\triangle COE$ — прямоугольный ($\angle COE = 90^\circ$). 4. В прямоугольном $\triangle COE$: $\angle OCE + \angle CEO = 90^\circ$, то есть $\angle KCB + \angle AEC = 90^\circ$. 5. Вписанный четырёхугольник $AKEC$ обладает свойством: сумма противоположных углов равна $180^\circ$. $\angle KAE + \angle KCE = \angle KAC + \angle ACE = 180^\circ - \angle ABC - (\dots)$ — этот путь сложнее. Воспользуемся свойством внешнего угла: для вписанного четырёхугольника внешний угол при одной вершине равен внутреннему углу при противоположной вершине. Но здесь проще рассмотреть углы через дуги. 6. Пусть $\angle KCB = x$. Тогда в $\triangle BAE$ и $\triangle BCK$ общим является угол $B=20^\circ$. 7. Заметим, что $\angle KAC$ и $\angle KEC$ опираются на дугу $KC$. $\angle ACE$ и $\angle AKE$ опираются на дугу $AE$. 8. В треугольнике $\triangle ABC$: $\angle A + \angle C = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$. 9. В прямоугольном треугольнике, образованном пересечением перпендикулярных хорд $AE$ и $CK$ внутри окружности, выполняется соотношение для углов: сумма дуг, на которые опираются углы, дает $180^\circ$ в сумме с учетом центральных углов. Для вписанного четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями $AE$ и $CK$: сумма углов $\angle BAK + \angle BCK$ связана с углом $B$. В $\triangle AB E$: $\angle BAE = 90^\circ - \angle KCB$ (так как $AE \perp CK$ и точки лежат на окружности). В треугольнике $\triangle BCK$: $\angle BKC = 180^\circ - 20^\circ - \angle KCB = 160^\circ - \angle KCB$. Для вписанного четырёхугольника $\angle AKC + \angle AEC = 180^\circ$. $\angle AKC = 180^\circ - \angle BKC = 180^\circ - (160^\circ - \angle KCB) = 20^\circ + \angle KCB$. Рассмотрим $\triangle KOE$ (где $O$ - точка пересечения $AE$ и $CK$): $\angle OKE + \angle OEK = 90^\circ$. $\angle OKE = \angle AKC - \angle AK E$. По свойству вписанного четырёхугольника $\angle KCB = \angle KAE$. В $\triangle AB E$: $\angle B + \angle BAE + \angle BEA = 180^\circ \Rightarrow 20^\circ + \angle KCB + \angle BEA = 180^\circ \Rightarrow \angle BEA = 160^\circ - \angle KCB$. Угол $\angle AEC$ смежный с $\angle BEA$: $\angle AEC = 180^\circ - (160^\circ - \angle KCB) = 20^\circ + \angle KCB$. В прямоугольном $\triangle COE$: $\angle KCB + \angle AEC = 90^\circ$. $x + (20^\circ + x) = 90^\circ$ $2x = 70^\circ$ $x = 35^\circ$ **Ответ: 35°**