В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Question

Вопрос:

В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Дано: треугольник $ABC$ — равнобедренный, $\angle ABC = \angle ACB$. $BO$ и $CO$ — биссектрисы. Доказательство: 1. Пусть $\angle ABC = \angle ACB = \beta$. 2. Поскольку $BO$ и $CO$ — биссектрисы, углы $\angle OBC$ и $\angle OCB$ равны половине угла $\beta$, то есть $\angle OBC = \frac{\beta}{2}$ и $\angle OCB = \frac{\beta}{2}$. 3. Рассмотрим треугольник $BOC$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $BOC$: $\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (\frac{\beta}{2} + \frac{\beta}{2}) = 180^\circ - \beta$. 4. Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $B$ — это угол, смежный с $\angle ABC$. Он равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - \beta$. 5. Мы видим, что и $\angle BOC$, и внешний угол при вершине $B$ равны $180^\circ - \beta$. Следовательно, $\angle BOC$ равен внешнему углу треугольника при вершине $B$. Что и требовалось доказать.

В равнобедренном треугольнике ABC биссектрисы равных углов B и C пересекаются в точке O. Докажите, что угол BOC равен внешнему углу треугольника при вершине B.

Ответ ассистента

Другие решения