а) Решите уравнение cos 2x · sin 4x - cos 4x · sin 5π/6 = cos(2x - π/2).

а) Решим уравнение $\cos 2x \cdot \sin 4x - \cos 4x \cdot \sin \frac{5\pi}{6} = \cos(2x - \frac{\pi}{2})$. 1. Преобразуем правую часть уравнения по формуле приведения: $\cos(2x - \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = \sin 2x$. 2. Преобразуем левую часть. Так как $\sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид: $\cos 2x \cdot \sin 4x - \frac{1}{2} \cos 4x = \sin 2x$. 3. Запишем $\sin 4x$ как $2 \sin 2x \cos 2x$ и $\cos 4x$ как $1 - 2 \sin^2 2x$ (или $2\cos^2 2x - 1$). $\cos 2x \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) - \frac{1}{2} (2 \cos^2 2x - 1) = \sin 2x$ $2 \sin 2x \cos^2 2x - \cos^2 2x + \frac{1}{2} = \sin 2x$ Перенесем все в одну сторону: $2 \sin 2x \cos^2 2x - \cos^2 2x - \sin 2x + \frac{1}{2} = 0$ Группируем: $\cos^2 2x (2 \sin 2x - 1) - \frac{1}{2} (2 \sin 2x - 1) = 0$ $(2 \sin 2x - 1)(\cos^2 2x - 0,5) = 0$ 4. Получаем два случая: 1) $2 \sin 2x - 1 = 0 \Rightarrow \sin 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k \Rightarrow x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos^2 2x = 0,5 \Rightarrow \cos 2x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$. б) Найдем корни на отрезке $[-3\pi; -2\pi]$. - Из первой серии $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$: При $k = -4: x = \frac{\pi}{12} - 2\pi = -\frac{23\pi}{12}$ (не подходит, $>-2\pi$) При $k = -5: x = -\frac{\pi}{12} - 2,5\pi = -\frac{31\pi}{12}$ (не подходит, $<-3\pi$) При $k = -6: x = \frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{35\pi}{12}$ (не подходит) Проверим ближайшие: $k = -5: x = -\pi/12 - 5\pi/2 = -31\pi/12 \approx -2.58\pi$ (подходит!) $k = -6: x = \pi/12 - 3\pi = -35\pi/12 \approx -2.91\pi$ (подходит!) - Из второй серии $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$: $n = -9: x = \frac{\pi}{8} - \frac{18\pi}{8} = -\frac{17\pi}{8} = -2.125\pi$ (подходит!) $n = -10: x = \frac{\pi}{8} - \frac{20\pi}{8} = -\frac{19\pi}{8} = -2.375\pi$ (подходит!) $n = -11: x = \frac{\pi}{8} - \frac{22\pi}{8} = -\frac{21\pi}{8} = -2.625\pi$ (подходит!) $n = -12: x = \frac{\pi}{8} - \frac{24\pi}{8} = -\frac{23\pi}{8} = -2.875\pi$ (подходит!) Ответ: а) $(-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, k, n \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{31\pi}{12}, -\frac{35\pi}{12}, -\frac{17\pi}{8}, -\frac{19\pi}{8}, -\frac{21\pi}{8}, -\frac{23\pi}{8}$.