C-24. Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии

### Решение задач по теме «Геометрическая прогрессия» Для всех задач используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. #### Вариант 1 1. Дано: $b_1 = 0,25$, $q = 2$. Найдем члены: - $b_3 = 0,25 \cdot 2^{3-1} = 0,25 \cdot 4 = 1$ - $b_5 = 0,25 \cdot 2^{5-1} = 0,25 \cdot 16 = 4$ - $b_7 = 0,25 \cdot 2^{7-1} = 0,25 \cdot 64 = 16$ - $b_k = 0,25 \cdot 2^{k-1}$ 2. Последовательность $(a_n)$ — геометрическая прогрессия: - а) $a_1 = 3, q = 2$. $a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} = 3 \cdot 32 = 96$ - б) $a_1 = 64, q = -\frac{1}{4}$. $a_7 = 64 \cdot (-\frac{1}{4})^{6} = 64 \cdot \frac{1}{4096} = \frac{1}{64}$ 3. Дано: $b_6 = \frac{1}{27}, q = \frac{1}{3}$. Найдем $b_1$: $b_6 = b_1 \cdot q^5 \implies \frac{1}{27} = b_1 \cdot (\frac{1}{3})^5 \implies \frac{1}{27} = b_1 \cdot \frac{1}{243} \implies b_1 = \frac{243}{27} = 9$ 4. Дано: $x_3 = 12, x_5 = 48$. Найдем $q$: $x_5 = x_3 \cdot q^2 \implies 48 = 12 \cdot q^2 \implies q^2 = 4 \implies q = 2$ или $q = -2$ #### Вариант 2 1. Дано: $a_1 = 3,2, q = \frac{1}{2} = 0,5$. Найдем члены: - $a_2 = 3,2 \cdot 0,5 = 1,6$ - $a_4 = 3,2 \cdot (0,5)^3 = 3,2 \cdot 0,125 = 0,4$ - $a_7 = 3,2 \cdot (0,5)^6 = 3,2 \cdot \frac{1}{64} = 0,05$ - $a_{k+1} = 3,2 \cdot (0,5)^k$ 2. Последовательность $(b_n)$ — геометрическая прогрессия: - а) $b_1 = 2, q = 3$. $b_6 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$ - б) $b_1 = 128, q = \frac{1}{4}$. $b_4 = 128 \cdot (\frac{1}{4})^3 = 128 \cdot \frac{1}{64} = 2$ 3. Дано: $a_5 = \frac{1}{64}, q = \frac{1}{2}$. Найдем $a_1$: $a_5 = a_1 \cdot q^4 \implies \frac{1}{64} = a_1 \cdot (\frac{1}{2})^4 \implies \frac{1}{64} = a_1 \cdot \frac{1}{16} \implies a_1 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ 4. Дано: $y_5 = 11, y_7 = 99$. Найдем $q$: $y_7 = y_5 \cdot q^2 \implies 99 = 11 \cdot q^2 \implies q^2 = 9 \implies q = 3$ или $q = -3$