Вычислить без помощи таблиц и микрокалькулятора (10-12).

Привет! Давай разберем эти задачи на формулы двойного угла. Вот решения для первой части заданий на вычисление: **10. Вычислить $2 \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12}$** Используем формулу $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$: $2 \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{5\pi}{12}) = \sin \frac{5\pi}{6} = \sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$. **11. Вычислить $\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12}$** Используем формулу $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$: $\cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} = \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **12. Вычислить $(\cos 22,5^\circ - \sin 22,5^\circ)^2$** Раскроем скобки: $(\cos 22,5^\circ - \sin 22,5^\circ)^2 = \cos^2 22,5^\circ - 2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ + \sin^2 22,5^\circ$. Группируем: $(\cos^2 22,5^\circ + \sin^2 22,5^\circ) - (2 \sin 22,5^\circ \cos 22,5^\circ)$. Используем основное тригонометрическое тождество (1) и формулу синуса двойного угла ($\sin 45^\circ$): $1 - \sin 45^\circ = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. **13. Найти $\sin 2\alpha$, если $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, $\sin \alpha = \frac{5}{13}$** Найдем $\cos \alpha$. Так как угол во второй четверти, косинус отрицательный: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$. Тогда $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{5}{13} \cdot (-\frac{12}{13}) = -\frac{120}{169}$. **14. Найти $\sin 2\alpha$, если $\text{ctg } \alpha = \frac{4}{3}$** Используем формулу $\sin 2\alpha = \frac{2 \text{ctg } \alpha}{1 + \text{ctg}^2 \alpha}$: $\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 + (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 + \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{25}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{25} = \frac{8 \cdot 3}{25} = \frac{24}{25}$. **15. Найти $\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha = \sqrt{2} - 1$** Используем формулу $\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha$: $\cos 2\alpha = 1 - 2(\sqrt{2} - 1)^2 = 1 - 2(2 - 2\sqrt{2} + 1) = 1 - 2(3 - 2\sqrt{2}) = 1 - 6 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 5$.