Высота прямоугольного треугольника делит прямой угол на два угла, один из которых на 40° больше другого. Найдите острые углы данного треугольника.

### Решение задания 1 Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $\alpha$ и $\beta$. Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает исходный треугольник на два других треугольника, углы которых связаны с углами исходного треугольника. В частности, она делит прямой угол на два угла, которые равны острым углам исходного треугольника (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$). Пусть один из полученных углов равен $x$, тогда другой равен $x + 40^\circ$. Так как их сумма равна $90^\circ$: $x + (x + 40^\circ) = 90^\circ$ $2x = 50^\circ$ $x = 25^\circ$ Значит, углы равны $25^\circ$ и $25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$. **Ответ: $25^\circ$ и $65^\circ$.** ### Решение задания 2 1. Рассмотрим треугольник $AMB$. Он прямоугольный (так как $AM$ — перпендикуляр, $\angle AMB = 90^\circ$). 2. Нам дан угол $ABC = 150^\circ$. Угол $ABM$ является смежным с углом $ABC$ (так как $M$ лежит на прямой $BC$, образуя развернутый угол). $\angle ABM = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$. 3. В прямоугольном треугольнике $AMB$ катет $AM$ лежит против угла $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $AM = \frac{1}{2} AB$ $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 12 = 24$ см. **Ответ: $24$ см.**