В треугольнике ABC угол C = 90°, CD - высота треугольника, BC = 2 BD. Докажите, что AD = 3 DB.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Это классические задачи на свойства прямоугольного треугольника. ### Задача 26 **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $CD \perp AB$, $BC = 2BD$. **Доказать:** $AD = 3BD$. **Решение:** 1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ отрезок $CD$ — высота, проведенная к гипотенузе. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике известно свойство катета: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 2. Для катета $BC$: $BC^2 = BD \cdot AB$. 3. По условию $BC = 2BD$. Подставим это в формулу: $(2BD)^2 = BD \cdot AB$ $4BD^2 = BD \cdot AB$ Так как $BD \neq 0$, разделим на $BD$: $4BD = AB$. 4. Гипотенуза $AB$ состоит из двух отрезков: $AB = AD + DB$. Подставим полученное выражение для $AB$: $4BD = AD + DB$ $AD = 4BD - DB = 3BD$. Что и требовалось доказать. ### Задача 27 **Дано:** $\triangle ABC$, $\angle B = 90^\circ$, $BD \perp AC$, $AB = 2BD$. **Доказать:** $3AC = 4AD$. **Решение:** 1. Аналогично предыдущей задаче, используем свойство катета $AB$: $AB^2 = AD \cdot AC$. 2. По условию $AB = 2BD$, значит $AB^2 = 4BD^2$. Приравниваем: $4BD^2 = AD \cdot AC$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABC$ высота $BD$ также связана с катетами и гипотенузой через подобие треугольников (или формулу площади). Но удобнее выразить $BD$ через катеты: $BD = \frac{AB \cdot BC}{AC}$. Возведем в квадрат: $BD^2 = \frac{AB^2 \cdot BC^2}{AC^2}$. 4. Подставим это в наше уравнение из шага 2: $4 \cdot \frac{AB^2 \cdot BC^2}{AC^2} = AD \cdot AC$ $4 \cdot \frac{AB^2 \cdot BC^2}{AC^3} = AD$. 5. Мы знаем, что $BC^2 = AC^2 - AB^2$ (по теореме Пифагора). Подставим это: $4 \cdot \frac{AB^2 (AC^2 - AB^2)}{AC^3} = AD$ $4 AB^2 AC^2 - 4 AB^4 = AD \cdot AC^3$. Это немного сложно. Давай проще: так как $AB^2 = AD \cdot AC$, то $BD^2 = AD \cdot DC$ (свойство высоты). Из $AB = 2BD$ следует $AB^2 = 4BD^2$, значит $AD \cdot AC = 4 \cdot AD \cdot DC$, откуда $AC = 4DC$. Так как $AC = AD + DC$, то $AD + DC = 4DC$, значит $AD = 3DC$. Тогда $AC = AD + \frac{1}{3}AD = \frac{4}{3}AD$, следовательно $3AC = 4AD$. Что и требовалось доказать.