Найдите корень уравнения log_16(2^(3x-1)) = 4

Привет! Давай решим задачи из твоего учебника. Вот пошаговые решения: ### 6. Решение уравнения $\log_{16} 2^{3x-1} = 4$ Перепишем $16$ как $2^4$: $\log_{2^4} 2^{3x-1} = 4$ По свойству логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$: $\frac{3x-1}{4} \log_2 2 = 4$ Так как $\log_2 2 = 1$, получаем: $\frac{3x-1}{4} = 4$ $3x - 1 = 16$ $3x = 17$ $x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$ **Ответ: 5,66... (или 17/3)** ### 7. Вычисление выражения Выражение: $\frac{11\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x}}{x} + 2x - 1$ при $x = 3$. Упростим: $\frac{11\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} + 2x - 1 = 11 - \frac{4}{\sqrt{x}} + 2x - 1 = 10 + 2x - \frac{4}{\sqrt{x}}$ Подставим $x=3$: $10 + 2(3) - \frac{4}{\sqrt{3}} = 16 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$ **Ответ: $16 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$** ### 8. Нахождение абсциссы точки касания Прямая $y = -2x - 12$ является касательной к $y = x^3 - 2x^2 - 6x$. Условие касания: $f'(x_0) = k$, где $k = -2$. $f'(x) = 3x^2 - 4x - 6$ $3x^2 - 4x - 6 = -2$ $3x^2 - 4x - 4 = 0$ $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$ $x_1 = \frac{4 + 8}{6} = 2, x_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3}$ Проверим точку $(x_0, f(x_0))$ на принадлежность прямой: 1) Если $x = 2$: $y = 8 - 8 - 12 = -12$. Прямая: $y = -2(2) - 12 = -16$. $-12 \neq -16$ (не подходит). 2) Если $x = -2/3$: $y = (-8/27) - 2(4/9) - 6(-2/3) = -8/27 - 24/27 + 36/9 = -32/27 + 4 = (-32 + 108)/27 = 76/27$. Прямая: $y = -2(-2/3) - 12 = 4/3 - 36/3 = -32/3 = -288/27$. (не подходит). *Примечание: Вероятно, в условии опечатка в коэффициентах.* ### 9. Задача про скейтбордиста $u = \frac{m}{m+M} v \cos \alpha$ $0,4 \le \frac{75}{75+225} \cdot 3,2 \cdot \cos \alpha$ $0,4 \le \frac{75}{300} \cdot 3,2 \cdot \cos \alpha$ $0,4 \le 0,25 \cdot 3,2 \cdot \cos \alpha$ $0,4 \le 0,8 \cos \alpha$ $\cos \alpha \ge 0,5$ $\alpha \le 60^\circ$ **Ответ: 60** ### 10. Задача про теплоход Пусть $S$ — путь в одну сторону. Скорость теплохода $v = 22$, течение $v_t = 1$. Время движения: $(50 - 6) = 44$ часа. $t = \frac{S}{22+1} + \frac{S}{22-1} = 44$ $\frac{S}{23} + \frac{S}{21} = 44$ $\frac{21S + 23S}{483} = 44$ $44S = 44 \cdot 483$ $S = 483$ км. Всего прошел $2S = 2 \cdot 483 = 966$ км. **Ответ: 966**