1. В Δ ABC AB < BC < AC. Найдите ∠ A, ∠ B, ∠ C, если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°.

Привет! Давай разберем задачи из варианта II. ### Задача 1 В треугольнике $ABC$ дано: $AB < BC < AC$. Известно, что один угол прямой ($90^\circ$), а другой $30^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$. 1. Третий угол: $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. 2. Углы: $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$. 3. Против меньшей стороны лежит меньший угол. Значит: - Против $AB$ (меньшая сторона) лежит угол $C = 30^\circ$. - Против $BC$ (средняя сторона) лежит угол $A = 60^\circ$. - Против $AC$ (большая сторона) лежит угол $B = 90^\circ$. **Ответ:** $\angle A = 60^\circ, \angle B = 90^\circ, \angle C = 30^\circ$. ### Задача 2 Дано: $\angle A = 90^\circ$, $\angle C = \angle B + 40^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$: $\angle B + \angle C = 90^\circ$ $\angle B + (\angle B + 40^\circ) = 90^\circ$ $2\angle B = 50^\circ \implies \angle B = 25^\circ$. $\angle C = 25^\circ + 40^\circ = 65^\circ$. **Ответ:** $\angle B = 25^\circ, \angle C = 65^\circ$. ### Задача 3 Дано: $\angle C = 90^\circ, \angle A = 70^\circ$, $CD$ — биссектриса. В треугольнике $ABC$ угол $B = 180^\circ - 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$. Биссектриса $CD$ делит $\angle C$ пополам: $\angle BCD = \angle ACD = 45^\circ$. В треугольнике $BCD$: - $\angle B = 20^\circ$. - $\angle BCD = 45^\circ$. - $\angle BDC = 180^\circ - (20^\circ + 45^\circ) = 115^\circ$. **Ответ:** $\angle B = 20^\circ, \angle BCD = 45^\circ, \angle BDC = 115^\circ$. ### Задача 4* Периметр $P = 50$ см. Пусть стороны $a, a, b$ (равнобедренный). Одна сторона меньше другой на $13$ см. Возможны два случая: 1. Основание $b = a - 13$. Тогда $P = a + a + (a - 13) = 3a - 13 = 50 \implies 3a = 63 \implies a = 21$. Стороны: $21, 21, 8$ см. (Проверка неравенства треугольника: $21+8 > 21$ — верно). 2. Боковая сторона $a = b - 13 \implies b = a + 13$. Тогда $P = a + a + (a + 13) = 3a + 13 = 50 \implies 3a = 37 \implies a = 12\frac{1}{3}$. Стороны: $12\frac{1}{3}, 12\frac{1}{3}, 25\frac{1}{3}$ см. (Проверка: $12\frac{1}{3} + 12\frac{1}{3} = 24\frac{2}{3} < 25\frac{1}{3}$ — не подходит, неравенство треугольника не выполняется). **Ответ:** $21$ см, $21$ см, $8$ см.