В треугольнике KMP MP = 9. Точки A и B лежат соответственно на сторонах KM и KP так, что KA = 4, AM = KB = 2, ∠KAB = ∠KPM. Найдите периметр треугольника KAB.

### Решение задачи 1 1) $\triangle KAB \sim \triangle KPM$ (по двум углам: $\angle K$ — общий, $\angle KAB = \angle KPM$ по условию), следовательно, $KA : KP = KB : KM = AB : MP$. Так как $KA=4$, $AM=2$, значит $KM = KA+AM = 4+2=6$. $KB=2$, значит $KP = KB+BP$ (но здесь проще воспользоваться пропорцией из подобия). $KA : KP = KB : KM \Rightarrow 4 : KP = 2 : 6$. Отсюда $KP = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$. 2) Так как $\triangle KAB \sim \triangle KPM$, то $AB : MP = KA : KP$. $AB : 9 = 4 : 12$. $AB = \frac{9 \cdot 4}{12} = 3$. 3) Периметр треугольника $KAB = KA + KB + AB = 4 + 2 + 3 = 9$. **Ответ: 9** ### Решение задачи 2 Дано: $\triangle ABC, \angle C = 90^{\circ}, AC = 6, CB = 8, CH \perp AB$. a) Доказать: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$. В $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ оба треугольника прямоугольные (так как $CH$ — высота, $\angle AHC = \angle CHB = 90^{\circ}$). Угол $\angle A$ у них общий, значит $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ по двум углам. Угол $\angle B$ общий для $\triangle CBH$ и $\triangle ABC$, значит $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ по двум углам. Так как оба треугольника подобны $\triangle ABC$, то они подобны между собой: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$. б) Найти: $S_{CBH}$ и $S_{ACH}$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Площадь всего треугольника $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$. Коэффициент подобия $k$ треугольников $ACH$ и $ABC$ равен отношению гипотенуз: $k = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = 0,6$. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{ACH}}{S_{ABC}} = k^2 = 0,6^2 = 0,36$. $S_{ACH} = S_{ABC} \cdot 0,36 = 24 \cdot 0,36 = 8,64$. $S_{CBH} = S_{ABC} - S_{ACH} = 24 - 8,64 = 15,36$. **Ответ: $S_{ACH} = 8,64$, $S_{CBH} = 15,36$.**