1) \int_{-1}^{2} (2x^2 - x + 1)dx,

Привет! Давай разберем эти интегралы по порядку. ### 1) $\int_{-1}^{2} (2x^2 - x + 1) dx$ Находим первообразную: $\left[ \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{2}$ Подставляем пределы: $( \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{4}{2} + 2 ) - ( \frac{2 \cdot (-1)}{3} - \frac{1}{2} - 1 ) = ( \frac{16}{3} - 2 + 2 ) - ( -\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 1 ) = \frac{16}{3} - ( -\frac{13}{6} ) = \frac{32}{6} + \frac{13}{6} = \frac{45}{6} = 7.5$ **Ответ: 7.5** ### 2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$ Находим первообразную: $[ \sin x ]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ **Ответ: 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}** ### 3) $\int_{1}^{9} (x - 3\sqrt{x}) dx$ Запишем в степенях: $\int_{1}^{9} (x - 3x^{1/2}) dx = [ \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} ]_1^9 = [ \frac{x^2}{2} - 2x\sqrt{x} ]_1^9$ Подставляем пределы: $( \frac{81}{2} - 2 \cdot 9 \cdot 3 ) - ( \frac{1}{2} - 2 \cdot 1 ) = ( 40.5 - 54 ) - ( 0.5 - 2 ) = -13.5 - (-1.5) = -12$ **Ответ: -12** ### 4) $\int_{1}^{4} \frac{x+3}{\sqrt{x}} dx$ Разделим почленно: $\int_{1}^{4} (\sqrt{x} + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = \int_{1}^{4} (x^{1/2} + 3x^{-1/2}) dx$ Первообразная: $[ \frac{x^{3/2}}{3/2} + 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} ]_1^4 = [ \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 6\sqrt{x} ]_1^4$ Подставляем пределы: $( \frac{2}{3} \cdot 4 \cdot 2 + 6 \cdot 2 ) - ( \frac{2}{3} + 6 ) = ( \frac{16}{3} + 12 ) - ( \frac{20}{3} ) = \frac{52}{3} - \frac{20}{3} = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$ **Ответ: 10\frac{2}{3}** ### 5) $\int_{1}^{7} e^x dx$ Первообразная: $[ e^x ]_1^7 = e^7 - e$ **Ответ: e^7 - e** ### 6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$ Первообразная: $[ -\cos x ]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos(\frac{\pi}{2}) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1$ **Ответ: 1** ### 7) $\int_{1}^{16} \frac{7x-1}{\sqrt{x}} dx$ Разделим почленно: $\int_{1}^{16} (7\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) dx = \int_{1}^{16} (7x^{1/2} - x^{-1/2}) dx$ Первообразная: $[ 7 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - 2x^{1/2} ]_1^{16} = [ \frac{14}{3}x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} ]_1^{16}$ Подставляем пределы: $( \frac{14}{3} \cdot 16 \cdot 4 - 2 \cdot 4 ) - ( \frac{14}{3} - 2 ) = ( \frac{896}{3} - 8 ) - ( \frac{8}{3} ) = \frac{888}{3} - 8 = 296 - 8 = 288$ **Ответ: 288**