1. На рисунке 21 диаметры AB и CD окружности лежат на перпендикулярных прямых, MO = EO. Докажите, что AM = BE.

### Задача 1 **Дано:** - Окружность с центром $O$. - Диаметры $AB$ и $CD$ перпендикулярны ($AB \perp CD$). - $MO = EO$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOE$. 2. $AO = BO$ как радиусы окружности. 3. $\angle AOM = \angle BOE = 90^\circ$ (так как $AB \perp CD$). 4. $MO = EO$ (по условию). 5. Треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOE$ равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 6. Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: $AM = BE$, что и требовалось доказать. --- ### Задача 2 **Дано:** - Угол $A$ с точкой $D$ внутри. - $DB \perp AC$ (где $B$ лежит на стороне угла), $DC \perp AB$ (где $C$ лежит на стороне угла). - $\angle ADB = \angle ADC$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ (так как $DB \perp AC$, то $\angle ABD = 90^\circ$, и так как $DC \perp AB$, то $\angle ACD = 90^\circ$ — *поправка*: в условии сказано «перпендикуляры DB и DC к сторонам угла», значит $\angle DBA = 90^\circ$ и $\angle DCA = 90^\circ$, где $B$ и $C$ лежат на сторонах угла). 2. На самом деле, лучше рассмотреть треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$, где $\angle DBA = 90^\circ$ и $\angle DCA = 90^\circ$. 3. Общая сторона $AD$ — гипотенуза для обоих треугольников. 4. $\angle ADB = \angle ADC$ (по условию). 5. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$ равны по гипотенузе и острому углу. 6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAB = \angle DAC$. 7. Так как $\angle DAB = \angle DAC$, то луч $AD$ делит угол $A$ пополам, то есть является биссектрисой. Что и требовалось доказать.