1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки A, B, C и D. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD.

### 1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки A, B, C и D. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD. Координаты точек: $A = (0; 0)$, $B = (4; 0)$, $C = (3; 0)$, $D = (5; 0)$. Середина $M$ отрезка $AB$: $(\frac{0+4}{2}; \frac{0+0}{2}) = (2; 0)$. Середина $N$ отрезка $CD$: $(\frac{3+5}{2}; \frac{0+0}{2}) = (4; 0)$. Расстояние $MN = \sqrt{(4-2)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$. **Ответ: 2** ### 2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник ABC. Найдите сумму углов ABC и ACB. Ответ дайте в градусах. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Значит, $\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC$. По рисунку: вершина $A$ имеет координаты $(0; 1)$, $B(3; 3)$, $C(1; 0)$. Векторы: $\vec{AB} = (3; 2)$, $\vec{AC} = (1; -1)$. Косинус угла $A$: $\cos A = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1)}{\sqrt{3^2+2^2} \cdot \sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{3-2}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{26}}$. Так как значение не является табличным, перепроверим по клеткам: треугольник прямоугольный? Нет. Визуально $\angle A$ тупой или острый? Острый. Сумма углов $ABC + ACB = 180^\circ - \angle A$. Угол $A$ равен $\arccos(\frac{1}{\sqrt{26}}) \approx 78.69^\circ$. Сумма $\approx 101.31^\circ$. **Ответ: 101,31** ### 3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB угол C в 4 раза меньше угла A. Найдите величину внешнего угла при вершине B. Ответ дайте в градусах. Пусть $\angle C = x$. Тогда $\angle A = 4x$. Так как треугольник равнобедренный с основанием $AB$, то $\angle A = \angle B = 4x$. Сумма углов: $\angle A + \angle B + \angle C = 4x + 4x + x = 180^\circ \Rightarrow 9x = 180^\circ \Rightarrow x = 20^\circ$. Значит, $\angle B = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. Внешний угол при вершине $B = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$. **Ответ: 100** ### 4. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла B, если DA = 4, а AC = 8. Ответ дайте в градусах. В прямоугольном треугольнике $ADC$ ($\angle D = 90^\circ$): $\cos A = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{8} = 0,5$. Значит, $\angle A = 60^\circ$. В треугольнике $ABC$: $\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. **Ответ: 30** ### 5. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1 = 111°, ∠2 = 18°. Ответ дайте в градусах. Примем пересечение прямой, проходящей через точки $m$ и $n$ (обозначим её $k$). Угол $1$ и внутренний угол, накрест лежащий с ним, равны $111^\circ$. Угол, вертикальный углу $1$, равен $111^\circ$. По свойству внешнего угла треугольника: внешний угол $\angle 1 = 111^\circ$, внутренние не смежные с ним — это $\angle 2$ и $\angle 3$ (где $\angle 3$ — угол внутри треугольника, образованного пересечением $m, n, k$). Получаем: $\angle 1 = \angle 2 + \angle 3$. $111^\circ = 18^\circ + \angle 3 \Rightarrow \angle 3 = 111^\circ - 18^\circ = 93^\circ$. **Ответ: 93** ### 6. В треугольнике ABC проведена прямая KN — серединный перпендикуляр к стороне BC. Найдите AK : KC, если BK = 4 и AC = 6. $KN$ — серединный перпендикуляр к $BC$, значит, любая точка на нем равноудалена от $B$ и $C$. Точка $K$ лежит на этом перпендикуляре (по условию KN - перпендикуляр, и K - точка на стороне BC, но в условии сказано "прямая KN - серединный перпендикуляр к BC", скорее всего K лежит на AB, а N на BC). Если $K$ лежит на $AB$ и $KN \perp BC$, то $KB = KC$. Так как $BK = 4$, то $KC = 4$. Тогда $AK : KC$ зависит от $AB$. Если треугольник не задан полностью, решение может быть неоднозначным. Однако, если $K$ — точка на стороне $AB$, и $KC$ — расстояние, то $KC = KB = 4$. $AK$ не определяется однозначно из данных. Возможно, опечатка в условии и $AK=KC$? Если $K$ равноудалена от $B$ и $C$, $KC=4$. Ответ может быть выражен через $AK$. **Ответ: AK/4**