А5. Площадь полукруга равна 72π (рис. 5). Найдите радиус круга.

Давай разберем задачи по очереди: ### А5. Площадь полукруга равна $72\pi$. Найдите радиус круга. Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга в 2 раза меньше: $\frac{\pi R^2}{2} = 72\pi$. Сокращаем на $\pi$: $\frac{R^2}{2} = 72 \Rightarrow R^2 = 144 \Rightarrow R = 12$. **Ответ: 12 (вариант г).** ### B1. Найдите площадь треугольника $BFE$, если площадь правильного шестиугольника $ABCDEF$ равна 180. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников, соединив центр с вершинами. Площадь одного такого треугольника равна $180 / 6 = 30$. Треугольник $BFE$ состоит из трех таких маленьких треугольников (или можно заметить, что его площадь составляет 1/2 от площади всего шестиугольника, если провести диагонали). $S_{BFE} = 180 / 2 = 90$. **Ответ: 90.** ### B2. Площадь сектора с центральным углом $120^{\circ}$ равна $27\pi$. Найдите радиус сектора. Формула площади сектора: $S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$. Подставим данные: $27\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}$. $27\pi = \frac{\pi R^2}{3} \Rightarrow 27 = \frac{R^2}{3} \Rightarrow R^2 = 81 \Rightarrow R = 9$. **Ответ: 9.** ### B3. Разность радиусов описанной и вписанной окружностей правильного треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите периметр треугольника. Пусть $a$ — сторона треугольника. Радиус описанной окружности $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, радиус вписанной $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Разность: $R - r = \frac{a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a - a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. По условию $\frac{a}{2\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \Rightarrow a = 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36$. Периметр $P = 3a = 3 \cdot 36 = 108$. **Ответ: 108.** ### B4. Дан правильный восьмиугольник с площадью 48. Найдите площадь закрашенной части. Закрашенная часть (трапеция $BCDE$) отсекает «верхушку» восьмиугольника. У правильного восьмиугольника закрашенная часть составляет ровно 1/4 часть площади всей фигуры, если провести диагонали. $S = 48 / 4 = 12$. **Ответ: 12.** ### B5. Найдите площадь сектора с радиусом, равным 8, и длиной дуги, равной 12. Формула площади сектора через дугу: $S = \frac{1}{2}LR$, где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус. $S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48$. **Ответ: 48.**