194. а) {lg x - lg y = 1, lg^2 x + lg^2 y = 5;

Решение систем логарифмических уравнений: ### а) $\begin{cases} \lg x - \lg y = 1 \\ \lg^2 x + \lg^2 y = 5 \end{cases}$ Пусть $u = \lg x$, $v = \lg y$. Тогда: $\begin{cases} u - v = 1 \implies u = v + 1 \\ u^2 + v^2 = 5 \end{cases}$ $(v + 1)^2 + v^2 = 5$ $v^2 + 2v + 1 + v^2 = 5$ $2v^2 + 2v - 4 = 0 \implies v^2 + v - 2 = 0$ Корни: $v_1 = 1$, $v_2 = -2$. Если $v = 1$, то $u = 2$. Тогда $\lg x = 2 \implies x = 100$, $\lg y = 1 \implies y = 10$. Если $v = -2$, то $u = -1$. Тогда $\lg x = -1 \implies x = 0{,}1$, $\lg y = -2 \implies y = 0{,}01$. **Ответ:** $(100; 10), (0{,}1; 0{,}01)$. ### б) $\begin{cases} \log_2(x^2 + y^2) = 5 \\ 2 \log_4 x + \log_2 y = 4 \end{cases}$ ОДЗ: $x > 0, y > 0$. 1) $x^2 + y^2 = 2^5 = 32$. 2) $2 \log_{2^2} x + \log_2 y = 4 \implies 2 \cdot \frac{1}{2} \log_2 x + \log_2 y = 4 \implies \log_2 x + \log_2 y = 4 \implies \log_2(xy) = 4 \implies xy = 16$. Имеем систему: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 32 \\ xy = 16 \end{cases}$ $(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = 32 + 2(16) = 64 \implies x+y = 8$. $(x-y)^2 = x^2+y^2-2xy = 32 - 2(16) = 0 \implies x=y$. Так как $x=y$ и $x+y=8$, то $2x=8 \implies x=4, y=4$. **Ответ:** $(4; 4)$. ### в) $\begin{cases} \lg x - \lg y = 7 \\ \lg x + \lg y = 5 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 \lg x = 12 \implies \lg x = 6 \implies x = 10^6 = 1000000$. Вычтем из второго первое: $2 \lg y = -2 \implies \lg y = -1 \implies y = 0{,}1$. **Ответ:** $(10^6; 0{,}1)$. ### г) $\begin{cases} \log_2(x+1) = \log_2(y + \frac{1}{4}) \\ \log_2 x - 2 \log_2(y - \frac{1}{2}) = 0 \end{cases}$ ОДЗ: $x > 0, y > 0{,}5, x+1 > 0, y > -0{,}25$. 1) $x+1 = y + 0{,}25 \implies x = y - 0{,}75$. 2) $\log_2 x = 2 \log_2(y - 0{,}5) = \log_2(y - 0{,}5)^2$. $x = (y - 0{,}5)^2$. Приравняем $x$: $y - 0{,}75 = (y - 0{,}5)^2$ $y - 0{,}75 = y^2 - y + 0{,}25$ $y^2 - 2y + 1 = 0 \implies (y-1)^2 = 0 \implies y = 1$. $x = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$. **Ответ:** $(0{,}25; 1)$.