### Логические задачи
1. Дым можно выдуть, выкачать насосом или, что проще, подождать, пока частицы дыма осядут под действием гравитации или диффундируют, если подождать достаточно долго. Также можно аккуратно налить воду или другую жидкость (как сказано в условии, «не наливая», но это классический способ) или использовать фильтр.
2. Уровень воды в шлюзе понизится. Когда баржа плавает с грузом, она вытесняет объем воды, равный весу груза. Когда груз (металлолом) сбрасывают в воду, он начинает вытеснять объем воды, равный своему *объему*, который меньше объема вытесняемой воды, эквивалентной по *весу*. Таким образом, суммарный объем, вытесняемый баржей и грузом, уменьшится.
3. Стекло — плохой проводник тепла. При попадании горячей воды в толстостенный стакан внутренняя поверхность быстро расширяется от нагрева, а внешняя остается холодной и не расширяется. Возникает внутреннее напряжение, приводящее к трещинам. В тонкостенных стаканах тепло быстрее прогревает всю толщу стекла равномерно.
4. Белка тратит на путь до гнезда 20 минут ($1200$ с). Скорость белки — $5$ м/с. Расстояние от орешника до гнезда: $S = v imes t = 5 \times 1200 = 6000$ м = $6$ км.
5. Это арифметическая прогрессия: $a_1=1, a_n=1999, d=2$. Формула $n$-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. $1999 = 1 + (n-1)2 \Rightarrow 1998 = 2(n-1) \Rightarrow n-1 = 999 \Rightarrow n = 1000$. Сумма: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} imes n = \frac{1 + 1999}{2} imes 1000 = 1000^2 = 1\,000\,000$ звезд.
6. Периметр треугольника: $20 + 20 + 30 = 70$ м. Столбы через 5 м: $70 / 5 = 14$ столбов.
7. Ребус: «Россия» (изображен герб РФ, «не равно» трактуется как «не-трактор», но обычно это просто иллюстрация, если это ребус, то нужно смотреть на элементы, скорее всего, это просто картинка-загадка).
### Алгебра
8. $\frac{4c^2 + 7c - 2}{1 - 16c^2} = \frac{(4c-1)(c+2)}{(1-4c)(1+4c)} = \frac{-(1-4c)(c+2)}{(1-4c)(1+4c)} = -\frac{c+2}{4c+1}$.
9. а) $x^2 - 10x + 21 = (x-3)(x-7)$; б) $5y^2 + 9y - 2 = (5y-1)(y+2)$.
10. $\sqrt[3]{-3\frac{3}{8} + 12\sqrt{\frac{58}{81}}} = \sqrt[3]{-\frac{27}{8} + 12 \cdot \frac{\sqrt{58}}{9}} = \sqrt[3]{-3.375 + \frac{4\sqrt{58}}{3}} \approx \sqrt[3]{-3.375 + 10.157} \approx \sqrt[3]{6.782} \approx 1.89$.
11. $\frac{3y+2}{y(4y+1)} + \frac{y-3}{(4y-1)(4y+1)} = \frac{3}{4y-1}$. Домножаем на общий знаменатель $y(4y+1)(4y-1)$ (при условии $y \neq 0, y \neq \pm 0.25$):
$(3y+2)(4y-1) + y(y-3) = 3y(4y+1) \Rightarrow 12y^2 - 3y + 8y - 2 + y^2 - 3y = 12y^2 + 3y \Rightarrow 13y^2 + 2y - 2 = 12y^2 + 3y \Rightarrow y^2 - y - 2 = 0$. Корни: $y_1=2, y_2=-1$.
### Тригонометрия
12. Формула $\alpha_{рад} = \alpha_{град} \cdot \frac{\pi}{180}$.
$20^\circ = \frac{\pi}{9}$; $320^\circ = \frac{16\pi}{9}$; $60^\circ = \frac{\pi}{3}$; $220^\circ = \frac{11\pi}{18}$; $15^\circ = \frac{\pi}{12}$; $30^\circ = \frac{\pi}{6}$.
13. Формула $\alpha_{град} = \alpha_{рад} \cdot \frac{180}{\pi}$.
$\frac{\pi}{6} = 30^\circ$; $\frac{\pi}{9} = 20^\circ$; $\frac{3\pi}{4} = 135^\circ$; $2 \text{ рад} \approx 114.59^\circ$; $3 \text{ рад} \approx 171.89^\circ$; $0.36 \text{ рад} \approx 20.63^\circ$.
14. $l = \frac{\pi R n}{180} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 60}{180} = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19$ см.
15. $S = \frac{\pi R^2 n}{360} = \frac{\pi \cdot 25 \cdot 35}{360} = \frac{175\pi}{72} \approx 7.64$ см².
16. $C = 2\pi R = 2 \cdot \pi \cdot 15 = 30\pi \approx 94.25$ см.
17. $S = \pi R^2 = \pi \cdot 81 = 81\pi \approx 254.47$ см².
