Сформулируйте и докажите свойства медиан треугольника

### Свойства медиан треугольника 1. **Медианы треугольника пересекаются в одной точке.** 2. **Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.** #### Доказательство Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем медианы $AM_1$ и $BM_2$, где $M_1$ — середина $BC$, $M_2$ — середина $AC$. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $M_1M_2$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $AC$ и $BC$. Следовательно, $M_1M_2 \parallel AB$ и $M_1M_2 = \frac{1}{2}AB$. 2. Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle M_2OM_1$: - $\angle OAB = \angle OM_2M_1$ (накрест лежащие при $AB \parallel M_1M_2$ и секущей $AM_2$); - $\angle OBA = \angle OM_1M_2$ (накрест лежащие при $AB \parallel M_1M_2$ и секущей $BM_1$); - Значит, $\triangle AOB \sim \triangle M_2OM_1$ по двум углам. 3. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AO}{OM_1} = \frac{BO}{OM_2} = \frac{AB}{M_1M_2}$. Так как $M_1M_2 = \frac{1}{2}AB$, то коэффициент подобия равен $2$. 4. Получаем: $AO = 2OM_1$ и $BO = 2OM_2$. Значит, точка пересечения делит медианы в отношении $2:1$. 5. Если провести третью медиану $CM_3$, она пройдет через ту же точку $O$, которая делит её в том же отношении $2:1$. Это доказывает, что все три медианы пересекаются в одной точке.