На данном рисунке треугольник DBE равнобедренный с основанием DE, AE = DC.

### Задача 1 **Дано:** $\triangle DBE$ — равнобедренный ($DB=BE$), $DE$ — основание, $AE = DC$. **а) Доказательство:** 1. В $\triangle DBE$ углы при основании равны: $\angle BDE = \angle BED$. Также $DB = BE$. 2. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$: - $DB = BE$ (по условию). - $\angle BDA = 180^\circ - \angle BDE$ и $\angle BEC = 180^\circ - \angle BED$. Так как $\angle BDE = \angle BED$, то $\angle BDA = \angle BEC$. - $AD = EC$ (по условию $AE = DC$, вычтем из обеих частей $DE$: $AE - DE = DC - DE$, но вернее так: $AD = AE - DE$ и $EC = DC - DE$, так как $AE=DC$, то $AD=EC$). 3. По признаку (сторона-угол-сторона) $\triangle ABD = \triangle EBC$. Следовательно, $AB = BC$ и $\angle A = \angle C$. 4. Так как $AB = BC$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный. **б) Нахождение угла:** 1. Сумма углов $\triangle DBE$: $\angle BDE + \angle BED + \angle DBE = 180^\circ$. 2. По условию $\angle BDE + \angle BED = 140^\circ$, значит $\angle DBE = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. 3. Так как $\angle BDE = \angle BED$ (углы при основании), то $\angle BDE = 140^\circ / 2 = 70^\circ$. 4. $\angle BEC$ — смежный с $\angle BED$. $\angle BEC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. **Ответ:** $\angle BEC = 110^\circ$. ### Задача 2 Это геометрическая задача на построение с помощью циркуля и линейки. 1. Постройте биссектрису угла $B$. 2. Отметьте на ней произвольную точку $D$. 3. Чтобы $BD$ стала медианой в $\triangle ABC$, нужно построить точки $A$ и $C$ на сторонах угла так, чтобы $AD = DC$. Это делается путем откладывания равных отрезков $BA$ и $BC$ от вершины $B$ или используя окружность с центром в $D$ для поиска пересечений со сторонами угла. ### Задача 3 **Дано:** $\triangle ABC$, $AB=AC$. $BM$ и $CN$ — медианы к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. **Доказать:** $BM=CN$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ABM$ и $\triangle ACN$: - $AB = AC$ (по условию). - $\angle A$ — общий. - $AM = 1/2 AC$, $AN = 1/2 AB$. Так как $AC=AB$, то $AM = AN$. 2. По признаку (сторона-угол-сторона) $\triangle ABM = \triangle ACN$. 3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BM = CN$. Что и требовалось доказать.