На данном рисунке треугольник DBE равнобедренный с основанием DE, ∠ABE = ∠DBC. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

### Решение задачи 1 **Дано:** $\triangle DBE$ — равнобедренный с основанием $DE$, следовательно, боковые стороны $BD = BE$ и углы при основании равны: $\angle BDE = \angle BED$. Также $\angle ABE = \angle DBC$. **а) Доказательство того, что $\triangle ABC$ равнобедренный:** 1. Так как $\triangle DBE$ равнобедренный, $\angle BDE = \angle BED$. 2. Смежные с ними углы $\angle BDA$ и $\angle BEC$ тоже равны между собой (как углы, смежные с равными углами: $180^\circ - \angle BDE = 180^\circ - \angle BED$). 3. Рассмотрим $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$: - $BD = BE$ (по условию). - $\angle BDA = \angle BEC$ (доказали выше). - $\angle ABD = \angle EBC$ (так как $\angle ABE = \angle DBC$, вычтем из обеих частей общий угол $\angle DBE$: $\angle ABE - \angle DBE = \angle DBC - \angle DBE$ $\Rightarrow$ $\angle ABD = \angle EBC$). 4. Значит, $\triangle ABD = \triangle EBC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). 5. Из равенства треугольников следует, что $AB = BC$. Следовательно, $\triangle ABC$ равнобедренный. **б) Нахождение $\angle BDE$:** 1. $\angle BDA + \angle BEC = 230^\circ$. 2. Так как $\angle BDA = \angle BEC$ (доказали в п. «а»), то $2 \cdot \angle BDA = 230^\circ$, откуда $\angle BDA = 115^\circ$. 3. $\angle BDE$ и $\angle BDA$ — смежные углы, их сумма равна $180^\circ$. 4. $\angle BDE = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. **Ответ:** $\angle BDE = 65^\circ$. ### Решение задачи 3 **Дано:** $\triangle ABC$, где $\angle A = \angle C$. **Доказать:** что биссектрисы $AE$ и $CD$ равны. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$: - $\angle A = \angle C$ (по условию). - $AC$ — общая сторона. - $\angle DAC = \angle ECA$ (так как $\angle DAC = \frac{1}{2}\angle A$ и $\angle ECA = \frac{1}{2}\angle C$, а углы $A$ и $C$ равны). 2. Значит, $\triangle ADC = \triangle CEA$ по стороне и двум прилежащим углам. 3. Из равенства треугольников следует, что $AE = CD$. Что и требовалось доказать.