1. x^4 - 10x^2 + 9 = 0

Давай разберем эти уравнения. Многие из них сводятся к квадратному уравнению через замену переменной. 1. $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$. Пусть $t = x^2$ ($t \ge 0$). Тогда $t^2 - 10t + 9 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 9$. Значит, $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ и $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. **Ответ: $\pm 1, \pm 3$** 2. $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$). $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 3$. Тогда $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$ и $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$. **Ответ: $0, 1$** 3. $\sqrt{x} + 2\sqrt[4]{x} - 8 = 0$. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$ ($t \ge 0$). Тогда $t^2 + 2t - 8 = 0$. Корни: $t_1 = -4$ (не подходит, т.к. $t \ge 0$), $t_2 = 2$. Значит, $\sqrt[4]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^4 = 16$. **Ответ: $16$** 4. $|x|^2 - 7|x| + 12 = 0$. Пусть $t = |x|$ ($t \ge 0$). $t^2 - 7t + 12 = 0$. Корни: $t_1 = 3, t_2 = 4$. Значит, $|x| = 3 \Rightarrow x = \pm 3$ и $|x| = 4 \Rightarrow x = \pm 4$. **Ответ: $\pm 3, \pm 4$** 5. $x + \frac{6}{x} = 7$. Умножим на $x$ ($x \neq 0$): $x^2 + 6 = 7x \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0$. Корни: $x_1 = 1, x_2 = 6$. **Ответ: $1, 6$** 6. $\log_3^2 x - 4\log_3 x + 3 = 0$. Пусть $t = \log_3 x$. $t^2 - 4t + 3 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 3$. Значит, $\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3$ и $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 27$. **Ответ: $3, 27$** 7. $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$. Пусть $t = \cos x$ ($|t| \le 1$). $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Корни: $t = 1$ и $t = 0.5$. Тогда $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ и $\cos x = 0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. **Ответ: $2\pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$** 8. $x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x} - 6 = 0$. Пусть $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \Rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Уравнение: $(t^2 - 2) + t - 6 = 0 \Rightarrow t^2 + t - 8 = 0$. $t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$. Решаем $x + \frac{1}{x} = t \Rightarrow x^2 - tx + 1 = 0$ для каждого $t$. **Ответ: $x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$, где $t = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$** 9. $5^x + 5^{2-x} = 26 \Rightarrow 5^x + \frac{25}{5^x} = 26$. Пусть $t = 5^x$ ($t > 0$). $t + \frac{25}{t} = 26 \Rightarrow t^2 - 26t + 25 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 25$. Тогда $5^x = 1 \Rightarrow x = 0$ и $5^x = 25 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: $0, 2$** 10. $\sqrt{x+5} + \sqrt{x-3} = 8$. Возводим в квадрат: $(x+5) + (x-3) + 2\sqrt{(x+5)(x-3)} = 64 \Rightarrow 2x + 2 + 2\sqrt{x^2+2x-15} = 64 \Rightarrow \sqrt{x^2+2x-15} = 31 - x$. Возводим снова: $x^2+2x-15 = 961 - 62x + x^2 \Rightarrow 64x = 976 \Rightarrow x = 15.25$. **Ответ: $15.25$** 11. $\frac{x^2-3x+1}{x^2+x+1} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x^2 - 9x + 3 = x^2 + x + 1 \Rightarrow 2x^2 - 10x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 5x + 1 = 0$. $D = 25 - 4 = 21$. $x = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$. **Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$** 12. $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$. Пусть $t = x^3$. $t^2 - 7t - 8 = 0$. $(t-8)(t+1) = 0$. $t_1 = 8 \Rightarrow x = 2$. $t_2 = -1 \Rightarrow x = -1$. **Ответ: $2, -1$** 13. $4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 = 0 \Rightarrow 4 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 2 = 0$. Пусть $t = 2^x$. $4t^2 - 9t + 2 = 0$. $D = 81 - 32 = 49$. $t = \frac{9 \pm 7}{8}$. $t_1 = 2, t_2 = 0.25$. $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$ и $2^x = 0.25 \Rightarrow x = -2$. **Ответ: $1, -2$** 14. $\sqrt[3]{x^2} - 5\sqrt[3]{x} + 6 = 0$. Пусть $t = \sqrt[3]{x}$. $t^2 - 5t + 6 = 0$. $(t-2)(t-3) = 0$. $t_1 = 2 \Rightarrow x = 8$. $t_2 = 3 \Rightarrow x = 27$. **Ответ: $8, 27$** 15. $\frac{2x^2+3x+2}{2x^2-3x+2} = 4$. Поделим числитель и знаменатель дроби слева на $x$ ($x\neq0$): $\frac{2x+3+\frac{2}{x}}{2x-3+\frac{2}{x}} = 4$. Пусть $t = 2x + \frac{2}{x}$. Тогда $\frac{t+3}{t-3} = 4 \Rightarrow t+3 = 4t-12 \Rightarrow 3t = 15 \Rightarrow t=5$. Решаем $2x + \frac{2}{x} = 5 \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$. $D = 25 - 16 = 9$. $x = \frac{5 \pm 3}{4}$. $x_1 = 2, x_2 = 0.5$. **Ответ: $0.5, 2$**