1. Треугольник. Элементы треугольника. Признаки равенства треугольников.

Привет! Давай разберем задачи по билетам. ### Билет № 1 2. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший — $5x$. Сумма смежных углов $180^\circ$: $x + 5x = 180^\circ \Rightarrow 6x = 180^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$. Больший угол: $5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$. **Ответ:** $30^\circ$ и $150^\circ$. 3. В $\triangle MNP$ биссектрисы углов $N$ и $M$ пересекаются в точке $A$. Биссектриса делит угол пополам: $\angle MNA = \angle N / 2 = 84^\circ / 2 = 42^\circ$; $\angle NMA = \angle M / 2 = 42^\circ / 2 = 21^\circ$. Сумма углов треугольника $180^\circ$, значит в $\triangle NAM$: $\angle NAM = 180^\circ - (42^\circ + 21^\circ) = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ:** $117^\circ$. ### Билет № 2 2. Пусть один угол $x$, другой $x + 55^\circ$. Сумма смежных $180^\circ$: $x + (x + 55^\circ) = 180^\circ \Rightarrow 2x = 125^\circ \Rightarrow x = 62,5^\circ$. Второй угол: $62,5^\circ + 55^\circ = 117,5^\circ$. **Ответ:** $62,5^\circ$ и $117,5^\circ$. 3. На рисунке углы $\alpha$ и $\alpha$ (отмеченные дугами) и $60^\circ$ вместе с углом, вертикальным к другому углу $\alpha$, образуют развернутый угол или сумму вокруг точки. Из рисунка видно, что вертикальные углы равны. Сумма углов на прямой $180^\circ$. Обозначим углы как $\alpha, \alpha, 60^\circ$. Так как они смежные с прямым углом, то $2\alpha + 60^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha = 120^\circ \Rightarrow \alpha = 60^\circ$. **Ответ:** $60^\circ$. ### Билет № 3 2. Треугольник $ADC$ равнобедренный с основанием $AD$. Значит, боковые стороны равны $AC = DC = 8$ см. Периметр $P = AD + AC + DC = 7 + 8 + 8 = 23$ см. **Ответ:** $23$ см. 3. $OK$ — биссектриса $\angle AOD$, значит $\angle AOK = \angle KOD$. Сумма $\angle AOK + \angle KOD + \angle DOB = 180^\circ$ (развернутый угол). Пусть $\angle KOD = x$. Тогда $x + x + 108^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2x = 72^\circ \Rightarrow x = 36^\circ$. **Ответ:** $36^\circ$. ### Билет № 4 2. При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Пусть они равны $\alpha$ и $\beta$. Сумма двух из них (смежных) $180^\circ$. В условии сказано "сумма двух из них $126^\circ$". Это могут быть только вертикальные углы (они равны), так как сумма смежных всегда $180^\circ$. $2\alpha = 126^\circ \Rightarrow \alpha = 63^\circ$. Смежный с ним угол: $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$. **Ответ:** $63^\circ$ и $117^\circ$. 3. В $\triangle ABC$ медиана $BM$ делит $AC$ на два отрезка $AM = MC = 84 / 2 = 42$. Так как $BC = BM$, $\triangle BMC$ — равнобедренный. В нем $BH$ — высота, она же медиана. Значит $MH = HC = MC / 2 = 42 / 2 = 21$. $AH = AM + MH = 42 + 21 = 63$. **Ответ:** $63$.