Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырехугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.

Доказательство: 1. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ ($AB = BC$). Возьмем произвольную точку $M$ на основании $AC$. 2. Проведем $MP \parallel BC$ ($P$ лежит на $AB$) и $MK \parallel AB$ ($K$ лежит на $BC$). 3. Полученный четырехугольник $PMKB$ является параллелограммом по определению (противоположные стороны параллельны). 4. В $\triangle APM$: так как $MP \parallel BC$, то $\angle AMP = \angle C$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle A = \angle C$. Значит, $\angle AMP = \angle A$, следовательно, $\triangle APM$ равнобедренный и $AP = PM$. 5. В $\triangle KMC$: так как $MK \parallel AB$, то $\angle KMC = \angle A$. Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle KMC = \angle C$, следовательно, $\triangle KMC$ равнобедренный и $MK = KC$. 6. У параллелограмма $PMKB$ противоположные стороны равны: $PM = BK$ и $MK = PB$. 7. Периметр $PMKB = PM + MK + BK + PB$. Подставим полученные равенства: Периметр = $AP + KC + BK + PB = (AP + PB) + (BK + KC) = AB + BC$. Таким образом, периметр параллелограмма равен сумме боковых сторон треугольника.