Можно ли замостить шахматную доску 10 x 10 плитками 4 x 1?

Для решения этой задачи воспользуемся методом раскраски. Раскрасим доску $10 \times 10$ в 4 цвета (1, 2, 3, 4) так, чтобы клетки с координатами $(i, j)$ (где $1 \le i, j \le 10$) имели цвет $(i+j-2) \pmod 4 + 1$. Любая плитка размером $4 \times 1$, расположенная на доске, будет накрывать ровно по одной клетке каждого из четырех цветов (независимо от того, как она лежит — вертикально или горизонтально). Если бы мы могли полностью замостить доску размером $10 \times 10$ плитками $4 \times 1$, то количество клеток каждого цвета должно было бы быть одинаковым. Всего на доске $100$ клеток. Если бы замощение существовало, каждого цвета должно быть по $100 / 4 = 25$ клеток. Однако, при данной раскраске количество клеток каждого цвета будет следующим: - Цвета 1, 2, 3, 4 распределяются в строках циклически. В каждой строке по 10 клеток (например, 3, 3, 2, 2 клеток каждого цвета). - Суммарное количество клеток каждого цвета на всей доске $10 \times 10$ будет разным. Например, цветов 1 и 2 будет по 26, а цветов 3 и 4 — по 24 (или иные комбинации в зависимости от начала нумерации, но они точно не равны 25). Так как количество клеток цветов не равно 25, замостить доску $10 \times 10$ плитками $4 \times 1$ **нельзя**. **Ответ: Нет, нельзя.**