Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Они встретились через 4 ч после выезда, а через 5 ч после встречи первый автомобиль пришёл в пункт В. Через сколько времени после встречи второй автомобиль пришёл в пункт А?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой связи скоростей и времен движения автомобилей после встречи. Пусть: - $t_1 = 4$ ч — время до встречи. - $t_{a1} = 5$ ч — время, за которое первый автомобиль прошел путь от места встречи до пункта B. - $t_{a2}$ — время, за которое второй автомобиль прошел путь от места встречи до пункта A. Существует правило: отношение времени движения первого и второго автомобиля после встречи равно квадрату отношения времени их движения до встречи, но в обратном порядке: $\frac{t_{a1}}{t_{a2}} = (\frac{t_{meet}}{t_{a1}})^2$ — это частный случай. Правильнее использовать отношение скоростей: Скорость первого автомобиля $v_1 = \frac{S_{AB}}{t_1 + t_{a1}}$ (но это сложно). Проще использовать известную формулу для таких задач: $\frac{t_{a1}}{t_{a2}} = (\frac{t_2}{t_1})^2$ — здесь не подходит, так как мы не знаем времена по отдельности. Воспользуемся соотношением: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_{BC}}{S_{AC}} = \frac{v_1 \cdot t_{a1}}{v_2 \cdot t_{a2}}$ Также, так как они выехали одновременно: $v_1 \cdot t_{meet} = S_{AC}$ $v_2 \cdot t_{meet} = S_{BC}$ Отсюда: $v_1 = \frac{S_{AC}}{t_{meet}}$ $v_2 = \frac{S_{BC}}{t_{meet}}$ После встречи первый прошел $S_{BC} = v_1 \cdot t_{a1}$, второй прошел $S_{AC} = v_2 \cdot t_{a2}$. Разделим уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_{BC}}{S_{AC}} = \frac{v_1 \cdot t_{a1}}{v_2 \cdot t_{a2}}$ Подставим $v_1$ и $v_2$: $\frac{S_{AC} / t_{meet}}{S_{BC} / t_{meet}} = \frac{S_{BC}}{S_{AC}}$ $\frac{S_{AC}}{S_{BC}} = \frac{S_{BC}}{S_{AC}} \implies S_{AC}^2 = S_{BC}^2 \implies S_{AC} = S_{BC}$ — неверно в общем случае. Правильный подход: $v_1 = \frac{S_{AC}}{t_{meet}}$ $v_2 = \frac{S_{BC}}{t_{meet}}$ После встречи: $v_1 \cdot t_{a1} = S_{BC} \implies v_1 = \frac{S_{BC}}{t_{a1}}$ $v_2 \cdot t_{a2} = S_{AC} \implies v_2 = \frac{S_{AC}}{t_{a2}}$ Приравняем выражения для $v_1$ и $v_2$: $\frac{S_{AC}}{t_{meet}} = \frac{S_{BC}}{t_{a1}} \implies S_{AC} = \frac{S_{BC} \cdot t_{meet}}{t_{a1}}$ $\frac{S_{BC}}{t_{meet}} = \frac{S_{AC}}{t_{a2}} \implies S_{BC} = \frac{S_{AC} \cdot t_{meet}}{t_{a2}}$ Подставим одно в другое: $S_{AC} = \frac{(\frac{S_{AC} \cdot t_{meet}}{t_{a2}}) \cdot t_{meet}}{t_{a1}}$ $1 = \frac{t_{meet}^2}{t_{a1} \cdot t_{a2}}$ $t_{a2} = \frac{t_{meet}^2}{t_{a1}}$ Подставим значения: $t_{a2} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3,2$ часа. **Ответ:** 3,2 часа.