Задание 3. Могут ли 6 человек коснуться друг друга так, чтобы каждый из них касался ровно трёх других?

Привет! Давай разберем твои задания по теории графов. ### Задание 1 *Тут тебе нужно нарисовать граф с 6 вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, 3, 3.* Чтобы построить такой граф, нарисуй 6 точек (вершин). Соедини их линиями (ребрами) так, чтобы из первой и второй выходило по 1 ребру, из третьей и четвертой — по 2 ребра, а из пятой и шестой — по 3 ребра. Это может выглядеть как цепочка, замкнутая петлями или дополнительными связями. ### Задание 2 *Нарисуй произвольный граф и найди сумму степеней.* 1. Нарисуй любые точки и соедини их линиями (например, треугольник с одной «торчащей» линией). 2. Степень вершины — это количество ребер, выходящих из нее. 3. Сумма степеней всегда равна удвоенному количеству ребер (это называется лемма о рукопожатиях). *Пример:* если у тебя граф с 3 ребрами, сумма степеней будет $3 \times 2 = 6$. ### Задание 3 *Могут ли 6 человек коснуться друг друга так, чтобы каждый из них касался ровно трех других?* **Решение:** В теории графов люди — это вершины, а «касания» — это ребра. Условие задачи означает, что мы ищем граф с 6 вершинами, где степень каждой вершины равна 3 (такой граф называется 3-регулярным). По лемме о рукопожатиях, сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству ребер. В нашем случае: $6 \times 3 = 18$. Значит, количество ребер равно $18 / 2 = 9$. Такой граф построить можно. Например, представь 6 человек, стоящих в кругу, где каждый держит за руки двух соседей (степень 2), и дополнительно каждый протягивает руку человеку напротив через центр круга (добавляет +1 к степени). **Ответ:** Да, могут.