Признаки равенства прямоугольных треугольников

Привет! Давай разберем задачи на признаки равенства треугольников по порядку. ### Задача 1 Дано: $\angle ABD = \angle ACD = 90^\circ$, $AD$ — общая сторона, $\angle BAD = \angle CAD$. Доказательство: 1. $\Delta ABD$ и $\Delta ACD$ — прямоугольные (так как $\angle B = \angle C = 90^\circ$). 2. У них общая гипотенуза $AD$. 3. Углы $\angle BAD$ и $\angle CAD$ равны по условию. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. ### Задача 2 Дано: $\angle B = \angle D = 90^\circ$, $AB = CD$ (отмечено черточками). Доказательство: 1. $\Delta ABC$ и $\Delta ADC$ — прямоугольные. 2. У них общая гипотенуза $AC$. 3. Катеты $AB = CD$ равны по условию. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. ### Задача 3 Дано: $\angle A = \angle C = 90^\circ$, $AB = CD$ (отмечено черточками). Доказательство: 1. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. 2. $\Delta ABO$ и $\Delta CDO$ — прямоугольные. 3. У них $AB = CD$ (катеты) и $\angle A = \angle C = 90^\circ$ (прилежащие к ним углы). Следовательно, $\Delta ABO = \Delta CDO$ по катету и прилежащему острому углу. ### Задача 4 Дано: $\Delta ABC$ — равнобедренный ($AB = BC$), $BD \perp AC$. Доказательство: 1. $BD$ — высота, значит $\angle BDA = \angle BDC = 90^\circ$. 2. $AB = BC$ (гипотенузы равны). 3. $BD$ — общая сторона (катет). Следовательно, $\Delta ABD = \Delta CBD$ по гипотенузе и катету. ### Задача 5 Дано: $\angle A = \angle C = 90^\circ$, $AB = CD$ (отмечено черточками). Доказательство: 1. $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные. 2. В $\Delta ABO$ и $\Delta CDO$: $AB = CD$ (катет) и $\angle A = \angle C = 90^\circ$ (прилежащий угол). Следовательно, $\Delta ABO = \Delta CDO$ по катету и прилежащему острому углу. Отсюда следует, что элементы этих треугольников равны, значит $\angle B = \angle D$. ### Задача 6 Дано: $\angle A = \angle D = 90^\circ$, $AB = CD$ (отмечено черточками). Доказательство: 1. $\Delta ABC$ и $\Delta DCB$ имеют общую сторону $BC$ (гипотенуза). 2. $AB = CD$ (катеты). Следовательно, $\Delta ABC = \Delta DCB$ по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, поэтому $\angle B = \angle C$.