10*. Найти область определения функции y = \sqrt{9^x - 7 \cdot 3^x - 18}

10*. Найти область определения функции $y = \sqrt{9^x - 7 \cdot 3^x - 18}$. Под знаком корня выражение должно быть неотрицательным: $9^x - 7 \cdot 3^x - 18 \ge 0$. Пусть $3^x = t$, где $t > 0$. Тогда $t^2 - 7t - 18 \ge 0$. Корни уравнения $t^2 - 7t - 18 = 0$: $D = 49 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121$; $t = \frac{7 \pm 11}{2}$, т.е. $t_1 = 9, t_2 = -2$. Неравенство $t^2 - 7t - 18 \ge 0$ выполняется при $t \ge 9$ или $t \le -2$. Учитывая $t > 0$, остается $t \ge 9 \Rightarrow 3^x \ge 9 \Rightarrow x \ge 2$. Ответ: $[2; +\infty)$. 11*. Решите неравенство $\log_{1/4} \log_4 (x - 3) > 0$. Условие ОДЗ: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ и $\log_4 (x - 3) > 0 \Rightarrow x - 3 > 1 \Rightarrow x > 4$. Переходим к неравенству: $\log_{1/4} \log_4 (x - 3) > \log_{1/4} 1$. Так как основание $1/4 < 1$, знак меняется: $\log_4 (x - 3) < 1$. $\log_4 (x - 3) < \log_4 4 \Rightarrow x - 3 < 4 \Rightarrow x < 7$. Пересекая с ОДЗ ($x > 4$), получаем $4 < x < 7$. Ответ: $(4; 7)$. 12*. Решите графически уравнение $\sqrt{x - 1} = 5 - x^2$. Функция $y_1 = \sqrt{x - 1}$ определена при $x \ge 1$, возрастает. Функция $y_2 = 5 - x^2$ — парабола, ветви вниз, вершина $(0; 5)$. При $x = 1$, $y_1 = 0$, $y_2 = 4$. При $x = 2$, $y_1 = 1$, $y_2 = 1$. Корень: $x = 2$. Ответ: $2$. 13*. Решите графически уравнение $(\frac{1}{2})^x = x + 6$. Построим $y_1 = (0.5)^x$ и $y_2 = x + 6$. При $x = -2$: $y_1 = 4, y_2 = 4$. Корень: $x = -2$. Ответ: $-2$. 14*. Решите графически уравнение $\log_3 x = 4 - x$. Построим $y_1 = \log_3 x$ и $y_2 = 4 - x$. При $x = 3$: $y_1 = 1, y_2 = 1$. Корень: $x = 3$. Ответ: $3$.