888 Докажите, что: а) sin α+cos α=√2 cos (π/4 - α); б) sin α-cos α=-√2 cos (π/4 + α).

Привет! Давай докажем эти тождества, используя формулы приведения или формулы суммы/разности аргументов. ### а) Докажем, что $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$ Раскроем правую часть по формуле косинуса разности $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$: $\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)$ Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим их: $\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \cos \alpha + \sin \alpha$ Правая часть равна левой. Тождество доказано. ### б) Докажем, что $\sin \alpha - \cos \alpha = -\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)$ Раскроем правую часть по формуле косинуса суммы $\cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$: $-\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = -\sqrt{2} (\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha)$ Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $-\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = -(\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha) = -(1 \cdot \cos \alpha - 1 \cdot \sin \alpha) = -\cos \alpha + \sin \alpha = \sin \alpha - \cos \alpha$ Правая часть равна левой. Тождество доказано.