Докажите, что: а) sin α + cos α = √2 cos (π/4 - α); б) sin α - cos α = -√2 cos (π/4 + α).

Привет! Давай докажем эти тождества, используя формулы приведения и сложения аргументов. ### а) $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)$ Для доказательства преобразуем правую часть. Вспомним формулу косинуса разности: $\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha$. 1. Применим формулу к правой части: $\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \right)$ 2. Так как $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим эти значения: $\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \right)$ 3. Раскроем скобки: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \cos \alpha + \sin \alpha$ Тождество доказано. ### б) $\sin \alpha - \cos \alpha = -\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)$ Преобразуем правую часть. Вспомним формулу косинуса суммы: $\cos(\beta + \alpha) = \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha$. 1. Применим формулу: $-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = -\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha \right)$ 2. Подставим значения $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $-\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \right)$ 3. Раскроем скобки: $-\left( \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha \right) = -\left( \cos \alpha - \sin \alpha \right) = -\cos \alpha + \sin \alpha = \sin \alpha - \cos \alpha$ Тождество доказано.