$\int_{1}^{3} (2x^3 + x^2 - 5) dx$

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{3} (2x^3 + x^2 - 5) dx$ 1. Найдем первообразную для каждого слагаемого: $\int 2x^3 dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{1}{2}x^4$ $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$ $\int -5 dx = -5x$ 2. Запишем выражение с пределами интегрирования: $\left[ \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 5x \right]_{1}^{3}$ 3. Подставим значения: Верхний предел (3): $\frac{1}{2}(3)^4 + \frac{1}{3}(3)^3 - 5(3) = \frac{81}{2} + \frac{27}{3} - 15 = 40,5 + 9 - 15 = 34,5$ Нижний предел (1): $\frac{1}{2}(1)^4 + \frac{1}{3}(1)^3 - 5(1) = 0,5 + \frac{1}{3} - 5 = -4,5 + \frac{1}{3} = -4,5 + 0,333... = -4,166...$ (или $-\frac{25}{6}$) 4. Вычислим разность: $34,5 - (-4,166...) = 34,5 + 4,166... = 38,666...$ В виде дроби: $\frac{69}{2} - (-\frac{25}{6}) = \frac{207}{6} + \frac{25}{6} = \frac{232}{6} = \frac{116}{3} = 38\frac{2}{3}$ **Ответ:** $38\frac{2}{3}$ (или $\approx 38,67$)