22.6. В правильной шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1 (рис. 22.8). Найдите угол между векторами:

Для решения задачи в правильной шестиугольной призме с ребром, равным 1, удобно использовать координатный метод. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин призмы можно определить, исходя из того, что длина стороны основания равна 1. Направляющий вектор высоты призмы равен $\vec{k} = (0, 0, 1)$. В правильном шестиугольнике со стороной 1 угол между смежными сторонами равен $120^\circ$. Рассмотрим углы между векторами: а) $\vec{AA_1}$ и $\vec{BC_1}$. $\vec{AA_1} = (0, 0, 1)$. Вектор $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. В основании $\vec{BC}$ составляет угол $60^\circ$ с вертикалью, но проще заметить, что $\vec{BC_1}$ — это диагональ боковой грани. Угол между боковым ребром и диагональю боковой грани $\vec{BC_1}$ равен $45^\circ$ (так как боковая грань — квадрат). б) $\vec{AA_1}$ и $\vec{DE_1}$. Аналогично пункту (а), $\vec{DE_1}$ — диагональ квадрата $DDE_1E_1$, угол равен $45^\circ$. в) $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$. Вектор $\vec{AB}$ параллелен $\vec{B_1C_1}$? Нет, в основании угол между ними $60^\circ$. Поскольку $\vec{B_1C_1}$ параллелен $\vec{BC}$, угол между $\vec{AB}$ и $\vec{B_1C_1}$ такой же, как между $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, т.е. $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. г) $\vec{AB}$ и $\vec{C_1D_1}$. Вектор $\vec{AB}$ параллелен $\vec{ED}$. Вектор $\vec{C_1D_1}$ параллелен $\vec{CD}$. Угол между $\vec{ED}$ и $\vec{CD}$ в основании равен $120^\circ$. Угол между векторами равен $120^\circ$. д) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1C_1}$. $\vec{AC}$ — малая диагональ основания. $\vec{AC}$ образует угол $30^\circ$ со стороной $BC$. $\vec{B_1C_1}$ параллелен $\vec{BC}$. Угол равен $30^\circ$. е) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1D_1}$. $\vec{AC} \parallel \vec{A_1C_1}$. Угол между $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{B_1D_1}$ в правильном шестиугольнике равен $90^\circ$. ж) $\vec{AC}$ и $\vec{B_1E_1}$. $\vec{AC} \parallel \vec{A_1C_1}$. В правильном шестиугольнике $A_1C_1$ перпендикулярно $B_1E_1$? Нет, $\vec{B_1E_1}$ — это диаметр (большая диагональ). Угол между $\vec{A_1C_1}$ и $\vec{B_1E_1}$ равен $60^\circ$. **Ответы:** а) $45^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$; г) $120^\circ$; д) $30^\circ$; е) $90^\circ$; ж) $60^\circ$.