Решить логарифмические уравнения: а) log1/2(1-x) = log1/2(2x), б) log2(3^(2x-2) + 7) = log2(3^(x-1) + 1), в) log5^2(x) + 2log5(x) + 1 = 0

Привет! Давай решим твои логарифмические уравнения. Везде будем учитывать область допустимых значений (ОДЗ), чтобы выражение под логарифмом было положительным. ### а) $\log_{\frac{1}{2}}(1-x) = \log_{\frac{1}{2}}(2x)$ Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: $1 - x = 2x$ $1 = 3x$ $x = \frac{1}{3}$ Проверим ОДЗ: $1 - x > 0 \Rightarrow x < 1$ $2x > 0 \Rightarrow x > 0$ $x = \frac{1}{3}$ подходит под условие $0 < x < 1$. **Ответ: $\frac{1}{3}$** ### б) $\log_2(3^{2x-2} + 7) = \log_2(3^{x-1} + 1)$ Приравниваем аргументы: $3^{2x-2} + 7 = 3^{x-1} + 1$ Пусть $t = 3^{x-1}$, тогда $3^{2x-2} = (3^{x-1})^2 = t^2$. Получаем уравнение: $t^2 + 7 = t + 1$ $t^2 - t + 6 = 0$ Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$. Дискриминант отрицательный, значит, действительных корней нет. **Ответ: Корней нет** ### в) $\log_5^2 x + 2\log_5 x + 1 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $\log_5 x$. Заметим, что это полный квадрат: $(\log_5 x + 1)^2 = 0$ $\log_5 x + 1 = 0$ $\log_5 x = -1$ $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$ Проверка ОДЗ: $x > 0$. Число $\frac{1}{5}$ подходит. **Ответ: $\frac{1}{5}$**