Задача 1: Раковина улитки наматывается по логарифмической спирали.

### Решение задач по логарифмической спирали **Задача 1** При увеличении расстояния от центра в 2 раза ширина витка также увеличивается в 2 раза. Если при расстоянии 1 см ширина равна 2 мм, то при 2 см ширина будет: $2 \text{ мм} \cdot 2 = 4 \text{ мм}$. **Ответ:** 4 мм. **Задача 2** Расстояние увеличилось с 3 мм до 6 мм. $6 : 3 = 2$. Расстояние увеличилось в 2 раза. **Ответ:** в 2 раза. **Задача 3** Дано уравнение: $r = 2 \cdot e^{0,1 \cdot \varphi}$. При $\varphi = 0$: $r = 2 \cdot e^{0,1 \cdot 0} = 2 \cdot e^0 = 2 \cdot 1 = 2$. **Ответ:** 2. **Задача 4** Уравнение: $r = e^{0,2 \cdot \varphi}$. 1. При $\varphi_1 = 0$: $r_1 = e^{0,2 \cdot 0} = 1$. 2. При $\varphi_2 = 5\pi$: $r_2 = e^{0,2 \cdot 5\pi} = e^{\pi} \approx 23,14$. Отношение: $r_2 / r_1 = e^{\pi} / 1 = e^{\pi} \approx 23,14$. **Ответ:** $e^{\pi}$ (прибл. 23,14). **Задача 5** Формула роста: $r_{out} = r_{in} \cdot e^{k\cdot\varphi}$. $40 = 5 \cdot e^{0,22 \cdot \varphi} \Rightarrow 8 = e^{0,22 \cdot \varphi}$. $\ln(8) = 0,22 \cdot \varphi \Rightarrow \varphi = \ln(8) / 0,22 \approx 2,079 / 0,22 \approx 9,45$ радиан. Количество полных витков ($2\pi$ рад): $9,45 / (2 \cdot 3,14) \approx 9,45 / 6,28 \approx 1,5$. **Ответ:** 1,5 полных витка. **Задача 6** При повороте на $\pi/2$ радиус растет в 1,618 раз: $e^{k \cdot (\varphi + \pi/2)} = 1,618 \cdot e^{k\varphi} \Rightarrow e^{k\pi/2} = 1,618$. $k \cdot \pi/2 = \ln(1,618)$. $k = (2 \cdot \ln(1,618)) / \pi \approx (2 \cdot 0,481) / 3,14 \approx 0,306$. **Ответ:** $k \approx 0,306$. **Задача 7** За один виток ($4\pi$ рад) расстояние увеличивается в 3 раза: $e^{k \cdot 4\pi} = 3$. $k \cdot 4\pi = \ln(3)$. $k = \ln(3) / (4\pi) \approx 1,0986 / 12,566 \approx 0,087$. **Ответ:** $k \approx 0,087$.