165. а) 9^{x^2 - 1} - 36 * 3^{x^2 - 3} + 3 = 0;

Привет! Давай решим эти уравнения. В них удобно сделать замену переменной. а) $9^{x^2 - 1} - 36 \cdot 3^{x^2 - 3} + 3 = 0$ Преобразуем степени: $9^{x^2 - 1} = (3^2)^{x^2 - 1} = 3^{2x^2 - 2} = 3^{2x^2 - 6 + 4} = 3^{2(x^2 - 3) + 4} = 3^4 \cdot (3^{x^2 - 3})^2 = 81 \cdot (3^{x^2 - 3})^2$ Пусть $t = 3^{x^2 - 3}$, где $t > 0$. Тогда: $81t^2 - 36t + 3 = 0$ Разделим на 3: $27t^2 - 12t + 1 = 0$ $D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36 = 6^2$ $t_1 = (12 - 6) / 54 = 6/54 = 1/9 = 3^{-2}$ $t_2 = (12 + 6) / 54 = 18/54 = 1/3 = 3^{-1}$ 1) $3^{x^2 - 3} = 3^{-2} \Rightarrow x^2 - 3 = -2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$ 2) $3^{x^2 - 3} = 3^{-1} \Rightarrow x^2 - 3 = -1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$ Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt{2}$ б) $5^{3x + 1} + 34 \cdot 5^{2x} = 7 \cdot 5^x$ Перенесем всё в левую часть и вынесем общий множитель $5^x$: $5 \cdot (5^x)^3 + 34 \cdot (5^x)^2 - 7 \cdot 5^x = 0$ Пусть $t = 5^x$, $t > 0$. Тогда $5t^3 + 34t^2 - 7t = 0 \Rightarrow t(5t^2 + 34t - 7) = 0$ $t = 0$ (не подходит, так как $5^x > 0$) $5t^2 + 34t - 7 = 0$ $D = 34^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-7) = 1156 + 140 = 1296 = 36^2$ $t_1 = (-34 - 36) / 10 = -7$ (не подходит) $t_2 = (-34 + 36) / 10 = 2/10 = 1/5 = 5^{-1}$ $5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$ Ответ: $-1$ в) $16^x - 50 \cdot 2^{2x} = 896$ Заметим, что $16^x = (2^4)^x = (2^{2x})^2 = (4^x)^2 = (2^{2x})^2$. Пусть $2^{2x} = t, t > 0$. $t^2 - 50t - 896 = 0$ $D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-896) = 2500 + 3584 = 6084 = 78^2$ $t_1 = (50 - 78) / 2 = -14$ (не подходит) $t_2 = (50 + 78) / 2 = 64$ $2^{2x} = 64 \Rightarrow 2^{2x} = 2^6 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ Ответ: $3$ г) $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{\sqrt{4x}} + 7 = 0$ Заметим, что $\sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$. $7^{4\sqrt{x}} - 8 \cdot 7^{2\sqrt{x}} + 7 = 0$ Пусть $t = 7^{2\sqrt{x}}, t > 0$. Тогда $t^2 - 8t + 7 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1, t_2 = 7$. 1) $7^{2\sqrt{x}} = 1 = 7^0 \Rightarrow 2\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ 2) $7^{2\sqrt{x}} = 7^1 \Rightarrow 2\sqrt{x} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0,5 \Rightarrow x = 0,25$ Ответ: $0; 0,25$