При каких значениях p вершины парабол y=x^2 -2px-1 и y=-x^2+4px+p расположены по разные стороны от оси x?

Для решения задачи найдем ординаты вершин (y-координаты) для каждой параболы. Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет координату $y_v = -D / (4a)$, где $D = b^2 - 4ac$. 1. Для первой параболы $y = x^2 - 2px - 1$: $a=1, b=-2p, c=-1$. $D_1 = (-2p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4p^2 + 4$. $y_{v1} = -D_1 / (4a) = -(4p^2 + 4) / 4 = -(p^2 + 1)$. 2. Для второй параболы $y = -x^2 + 4px + p$: $a=-1, b=4p, c=p$. $D_2 = (4p)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot p = 16p^2 + 4p$. $y_{v2} = -D_2 / (4a) = -(16p^2 + 4p) / (4 \cdot (-1)) = 16p^2 + 4p / 4 = 4p^2 + p$. Вершины расположены по разные стороны от оси x, если их ординаты имеют разные знаки (т.е. произведение $y_{v1} \cdot y_{v2} < 0$): $-(p^2 + 1) \cdot (4p^2 + p) < 0$. Так как выражение $p^2 + 1$ всегда положительно при любом $p$, мы можем умножить неравенство на $-1$ (при этом знак меняется на противоположный) и разделить на $(p^2 + 1)$: $4p^2 + p > 0$ $p(4p + 1) > 0$ Решим методом интервалов: Корни уравнения $p(4p + 1) = 0$ это $p_1 = 0$ и $p_2 = -1/4$. Интервалы: $(-\infty; -0.25) \cup (0; +\infty)$. **Ответ:** $p \in (-\infty; -0.25) \cup (0; +\infty)$.