Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. 1. y = x, y = 0, x = 2, x = 4;

Question

Вопрос:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. 1. y = x, y = 0, x = 2, x = 4;

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задач на нахождение площади фигуры, ограниченной линиями, воспользуемся определенным интегралом. Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$. 1. $y=x, y=0, x=2, x=4$ $S = \int_{2}^{4} x dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{4} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$. 2. $y=2x, y=0, x=0, x=2$ $S = \int_{0}^{2} 2x dx = \left. x^2 \right|_{0}^{2} = 4 - 0 = 4$. 3. $y=x+1, y=0, x=-1, x=1$ $S = \int_{-1}^{1} (x+1) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{-1}^{1} = (0.5 + 1) - (0.5 - 1) = 1.5 - (-0.5) = 2$. 4. $y=3-x, y=0, x=0, x=3$ $S = \int_{0}^{3} (3-x) dx = \left. \left( 3x - \frac{x^2}{2} \right) \right|_{0}^{3} = (9 - 4.5) - 0 = 4.5$. 5. $y=2-2x, y=0, x=-1, x=1$ Функция $y=2-2x$ меняет знак в точке $x=1$, но в заданном интервале $[-1, 1]$ она неотрицательна. $S = \int_{-1}^{1} (2-2x) dx = \left. (2x - x^2) \right|_{-1}^{1} = (2 - 1) - (-2 - 1) = 1 - (-3) = 4$.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. 1. y = x, y = 0, x = 2, x = 4;

Ответ ассистента

Другие решения