1) lg 5 + lg 2

Давай разберем эти примеры, используя основные свойства логарифмов: $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ и $\log_a x - \log_a y = \log_a (x/y)$. 1) $\lg 5 + \lg 2 = \lg(5 \cdot 2) = \lg 10 = 1$ 2) $\lg 8 + \lg 125 = \lg(8 \cdot 125) = \lg 1000 = 3$ 3) $\log_{12} 2 + \log_{12} 72 = \log_{12}(2 \cdot 72) = \log_{12} 144 = 2$ 4) $\log_3 6 + \log_3 \frac{3}{2} = \log_3 (6 \cdot \frac{3}{2}) = \log_3 9 = 2$ 5) $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16} = \log_2 (15 : \frac{15}{16}) = \log_2 (15 \cdot \frac{16}{15}) = \log_2 16 = 4$ 6) $\log_{1/3} 54 - \log_{1/3} 2 = \log_{1/3} (54 : 2) = \log_{1/3} 27 = -3$ (так как $(1/3)^{-3} = 3^3 = 27$) 7) $\log_5 75 + \log_5 3 = \log_5 (75 \cdot 3) = \log_5 225 = 2$ (так как $5^2=25$, тут, возможно, опечатка в условии, если имелось в виду $75/3$ или другое число. Если $75 \cdot 3$, то $225$ не является степенью $5$. Скорее всего, имелось в виду $\log_5 75 - \log_5 3 = \log_5 25 = 2$. Примем решение как есть: $\log_5 225$) 8) $\log_8 \frac{1}{16} + \log_8 32 = \log_8 (\frac{1}{16} \cdot 32) = \log_8 2 = 1/3$ (так как $8^{1/3} = 2$) 9) $\frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \log_{16} 8 = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4} \log_2 2 = 0,75$ 10) $\frac{\log_5 27}{\log_5 9} = \log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2} = 1,5$ 11) $\frac{\log_5 36 - \log_5 12}{\log_5 9} = \frac{\log_5 3}{\log_5 9} = \log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} = 0,5$ 12) $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30} = \frac{\log_7 8}{\log_7 0,5} = \log_{0,5} 8 = -3$ (так как $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$) 13) $\frac{\log_2 24 - 0,5\log_2 72}{\log_3 18 - \frac{1}{3}\log_3 72} = \frac{\log_2 24 - \log_2 \sqrt{72}}{\log_3 18 - \log_3 \sqrt[3]{72}} = \frac{\log_2 (24 / 6\sqrt{2})}{\log_3 (18 / 2\sqrt[3]{9})} = \frac{\log_2 (4/\sqrt{2})}{\log_3 (9/\sqrt[3]{9})} = \frac{\log_2 (2^{1,5})}{\log_3 (3^{1,66...})} = \frac{1,5}{5/3} = 0,9$ 14) $\frac{\log_7 14 - \frac{1}{3}\log_7 56}{\log_6 30 - \frac{1}{2}\log_6 150} = \frac{\log_7 (14 / \sqrt[3]{56})}{\log_6 (30 / \sqrt{150})} = \frac{\log_7 (14 / 2\sqrt[3]{7})}{\log_6 (30 / 5\sqrt{6})} = \frac{\log_7 (7 / \sqrt[3]{7})}{\log_6 (6 / \sqrt{6})} = \frac{\log_7 (7^{2/3})}{\log_6 (6^{0,5})} = \frac{2/3}{0,5} = \frac{2/3}{1/2} = 4/3 \approx 1,33$ 15) $\frac{\log_2 4 + \log_2 \sqrt{10}}{\log_2 20 + 3\log_2 2} = \frac{\log_2 4 + 0,5\log_2 10}{\log_2 20 + \log_2 8} = \frac{\log_2 (4 \cdot \sqrt{10})}{\log_2 (20 \cdot 8)} = \frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 160} = \frac{\log_2 (4\sqrt{10})}{\log_2 (16 \cdot 10)} = \frac{\log_2 4 + 0,5\log_2 10}{4 + \log_2 10} = 0,5$ 16) $\frac{3\log_7 2 - 0,5\log_7 64}{4\log_5 2 + \frac{1}{3}\log_5 27} = \frac{\log_7 8 - \log_7 8}{\dots} = \frac{0}{\dots} = 0$