Многочлен P(x) степени 2026 со старшим коэффициентом 1 таков, что для всех x выполняется P(x) = P(2026 - x). Найдите сумму всех корней многочлена с учётом кратностей.

Question

Вопрос:

Многочлен P(x) степени 2026 со старшим коэффициентом 1 таков, что для всех x выполняется P(x) = P(2026 - x). Найдите сумму всех корней многочлена с учётом кратностей.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $n = 2026$. Условие $P(x) = P(n - x)$ означает, что график многочлена симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{n}{2} = 1013$. Если $x_0$ является корнем многочлена $P(x)$, то есть $P(x_0) = 0$, то $P(n - x_0) = P(x_0) = 0$. Это значит, что $n - x_0$ также является корнем многочлена. Многочлен имеет степень 2026, значит, у него ровно 2026 корней (с учётом кратностей). Обозначим их $x_1, x_2, \dots, x_{2026}$. Так как каждый корень $x_i$ имеет «парный» корень $n - x_i$, то сумма всех корней равна сумме пар $(x_i + (n - x_i))$: $\sum_{i=1}^{2026} x_i = \sum_{i=1}^{1013} (x_i + (n - x_i)) = \sum_{i=1}^{1013} n = 1013 \times 2026$. Вычислим значение: $1013 \times 2026 = 2052338$. **Ответ: 2052338**

Многочлен P(x) степени 2026 со старшим коэффициентом 1 таков, что для всех x выполняется P(x) = P(2026 - x). Найдите сумму всех корней многочлена с учётом кратностей.

Ответ ассистента

Другие решения