На доске выписано число, равное сумме 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 (2026). Сколько раз в нём встречается цифра 1?

Question

Вопрос:

На доске выписано число, равное сумме 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 (2026). Сколько раз в нём встречается цифра 1?

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Представим каждое слагаемое в виде разности числа, кратного 10, и единицы: * $9 = 10 - 1$ * $99 = 100 - 1 = 10^2 - 1$ * $999 = 1000 - 1 = 10^3 - 1$ * ... * $\underbrace{99\dots9}_{2026} = 10^{2026} - 1$ Теперь сложим все эти выражения: $S = (10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^{2026} - 1)$ Сгруппируем степени десятки и единицы отдельно: $S = (10^1 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^{2026}) - (\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{2026})$ Сумма степеней десятки — это число, состоящее из 2026 единиц и нуля на конце: $\underbrace{11\dots1}_{2026}0$. Теперь вычтем из этого числа 2026: $\underbrace{11\dots1}_{2026}0 - 2026 = \underbrace{11\dots1}_{2025}074$ Как мы видим, в результате получилось число, в котором цифра 1 встречается на одну меньше раз, чем количество слагаемых. Количество единиц: $2026 - 1 = 2025$. **Ответ: 2025**

На доске выписано число, равное сумме 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 (2026). Сколько раз в нём встречается цифра 1?

Ответ ассистента

Другие решения