16. В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 8. Найди NP.

Давай разберем эту геометрическую задачу. **Дано:** 1. $\triangle MNK$, точка $P \in MK$. 2. $PT$ — биссектриса в $\triangle MNP$, значит $\angle MPT = \angle NPT$. 3. $PQ$ — высота в $\triangle NKP$, значит $\angle PQN = 90^\circ$ (и $\angle PQK = 90^\circ$). 4. $\angle TPQ = 90^\circ$. 5. $PK = 8$. **Решение:** 1. Рассмотрим углы вокруг точки $P$ на прямой $MK$ (развернутый угол $\angle MPK = 180^\circ$). Угол $\angle MPK$ складывается из углов $\angle MPT + \angle NPT + \angle NPQ + \angle QPK = 180^\circ$. Мы знаем, что $PT$ — биссектриса, пусть $\angle MPT = \angle NPT = \alpha$. Также $\angle TPQ = \angle NPT + \angle NPQ = 90^\circ$. Значит, $\angle NPQ = 90^\circ - \alpha$. 2. Теперь подставим это в сумму углов: $\alpha + \alpha + (90^\circ - \alpha) + \angle QPK = 180^\circ$ $2\alpha + 90^\circ - \alpha + \angle QPK = 180^\circ$ $\alpha + \angle QPK + 90^\circ = 180^\circ$ $\angle QPK = 90^\circ - \alpha$. 3. Мы видим, что $\angle NPQ = 90^\circ - \alpha$ и $\angle QPK = 90^\circ - \alpha$. Значит, $PQ$ — биссектриса угла $\angle NPK$. 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle P Q K$ ($\angle P Q K = 90^\circ$) нам известен катет $PK = 8$ (по условию $PK$ — гипотенуза в этом прямоугольном треугольнике, но в условии сказано "высота $PQ$ в $\triangle NKP$", значит $PQ \perp NK$ и $Q$ лежит на $NK$). Поскольку $PQ$ — биссектриса угла $\angle NPK$ и $PQ \perp NK$, то $\triangle PNK$ является равнобедренным треугольником, где $PN = PK$. Так как $\triangle PNK$ равнобедренный с основанием $NK$, то стороны $PN = PK = 8$. **Ответ:** 8